<?xml version="1.0" encoding="utf-8"?>
<!DOCTYPE article PUBLIC "-//NLM//DTD JATS (Z39.96) Journal Publishing DTD v1.1 20151215//EN" "https://jats.nlm.nih.gov/publishing/1.1/JATS-journalpublishing1.dtd">
<article article-type="research-article" dtd-version="1.1" specific-use="sps-1.9" xml:lang="en" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink">
	<front>
		<journal-meta>
			<journal-id journal-id-type="publisher-id">rcta</journal-id>
			<journal-title-group>
				<journal-title>Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias</journal-title>
				<abbrev-journal-title abbrev-type="publisher">Rev Cie Téc Agr</abbrev-journal-title>
			</journal-title-group>
			<issn pub-type="epub">2071-0054</issn>
			<publisher>
				<publisher-name>Universidad Agraria de La Habana</publisher-name>
			</publisher>
		</journal-meta>
		<article-meta>
			<article-id pub-id-type="publisher-id">00008</article-id>
			<article-id pub-id-type="other">00008</article-id>
			<article-categories>
				<subj-group subj-group-type="heading">
					<subject>SOFTWARE</subject>
				</subj-group>
			</article-categories>
			<title-group>
				<article-title>Model and Software for the Parameters Calculation in Centrifugal Disk of Fertilizer Spreaders</article-title>
			</title-group>
			<contrib-group>
				<contrib contrib-type="author">
					<name>
						<surname>Martínez-Rodríguez</surname>
						<given-names>Arturo</given-names>
						<prefix>Dr.Cs.</prefix>
					</name>
					<xref ref-type="aff" rid="aff1"><sup>I</sup></xref>
					<xref ref-type="corresp" rid="c1"><sup>*</sup></xref>
				</contrib>
				<contrib contrib-type="author">
					<name>
						<surname>Gómez-Águila</surname>
						<given-names>María Victoria</given-names>
						<prefix>MSc.</prefix>
					</name>
					<xref ref-type="aff" rid="aff2"><sup>II</sup></xref>
				</contrib>
				<contrib contrib-type="author">
					<name>
						<surname>Soto Escobar</surname>
						<given-names>Martín</given-names>
						<prefix>MC.</prefix>
					</name>
					<xref ref-type="aff" rid="aff2"><sup>II</sup></xref>
				</contrib>
			</contrib-group>
			<aff id="aff1">
				<label>I</label>
				<institution content-type="original">Universidad Agraria de La Habana (UNAH), Facultad de Ciencias Técnicas, Centro de Mecanización Agropecuaria (CEMA), San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba.</institution>
				<institution content-type="orgname">Universidad Agraria de La Habana (UNAH)</institution>
				<institution content-type="orgdiv1">Facultad de Ciencias Técnicas</institution>
				<institution content-type="orgdiv2">Centro de Mecanización Agropecuaria (CEMA)</institution>
				<addr-line>
					<city>San José de las Lajas</city>
					<state>Mayabeque</state>
				</addr-line>
				<country country="CU">Cuba</country>
			</aff>
			<aff id="aff2">
				<label>II</label>
				<institution content-type="original">Universidad Autónoma Chapingo, Texcoco, Edo. México, Estados Unidos Mexicanos.</institution>
				<institution content-type="normalized">Universidad Autónoma Chapingo</institution>
				<institution content-type="orgname">Universidad Autónoma Chapingo</institution>
				<addr-line>
					<city>Texcoco</city>
					<state>Edo. México</state>
				</addr-line>
				<country country="MX">Mexico</country>
			</aff>
			<author-notes>
				<corresp id="c1">
					<label>*</label>Author for correspondence: Arturo Martínez-Rodríguez, e-mail: <email>armaro466@gmail.com</email>
				</corresp>
				<fn fn-type="other" id="fn1">
					<p><italic>Arturo Martínez-Rodríguez</italic>, Profesor e Investigador Titular, Universidad Agraria de La Habana (UNAH), Facultad de Ciencias Técnicas, Centro de Mecanización Agropecuaria (CEMA), San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba, e-mail: armaro466@gmail.com </p>
				</fn>
				<fn fn-type="other" id="fn2">
					<p><italic>María Victoria Gómez-Águila</italic>, Profesora, Investigadora, Universidad Autónoma Chapingo, Texcoco, Edo. México, Estados Unidos Mexicanos, e-mail: mvaguila@hotmail.com</p>
				</fn>
				<fn fn-type="other" id="fn3">
					<p><italic>Martín Soto-Escobar</italic>, Profesor e Investigador, Universidad Autónoma Chapingo, Texcoco, Edo. México, Estados Unidos Mexicanos, e-mail: mvaguila@hotmail.com</p>
				</fn>
				<fn fn-type="conflict" id="fn4">
					<p>The authors of this work declare that they have no conflict of interest. </p>
				</fn>
			</author-notes>
			<pub-date date-type="pub" publication-format="electronic">
				<day>01</day>
				<month>01</month>
				<year>2021</year>
			</pub-date>
			<pub-date date-type="collection" publication-format="electronic">
				<season>Jan-Mar</season>
				<year>2021</year>
			</pub-date>
			<volume>30</volume>
			<issue>1</issue>
			<elocation-id>e08</elocation-id>
			<history>
				<date date-type="received">
					<day>20</day>
					<month>06</month>
					<year>2020</year>
				</date>
				<date date-type="accepted">
					<day>04</day>
					<month>12</month>
					<year>2020</year>
				</date>
			</history>
			<permissions>
				<license license-type="open-access" xlink:href="https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/" xml:lang="en">
					<license-p>This is an open-access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution License</license-p>
				</license>
			</permissions>
			<abstract>
				<title>ABSTRACT</title>
				<p>On an international scale, the broadcast distribution of mineral fertilizers is carried out fundamentally with the use of centrifugal disk spreaders with blades, due to their high distribution capacity and their constructional and operational simplicity. In spite of these advantages, a high demand in the correct selection of the parameters of the working process of these organs is required, to guarantee a high uniformity of fertilizer distribution in the field and consequently, the corresponding productive requisites. A model to determine the characteristics of the movement of the fertilizer particles on the spreading disk with inclined blades in relation to the radial direction is presented in this work. The analysis was carried out by obtaining the differential equation of the dynamics of a particle’s motion by applying the laws of classical Newtonian mechanics. The equations obtained from the solution of the differential equation of motion were programmed using the Mathcad software, version 2000 Professional. It allowed evaluating the model with specific data and obtaining the output speed and angle of the fertilizer based on parameters of input such as: inclination angle of blades, coefficient of friction between the fertilizer and the disk and blades material, dimensions and rotation speed of the disk and coordinates of the zone of the fertilizer fall from the mouth of the hopper.</p>
			</abstract>
			<kwd-group xml:lang="en">
				<title><bold><italic>Keywords</italic></bold>:</title>
				<kwd>Inclined blades</kwd>
				<kwd>Distribution Uniformity</kwd>
				<kwd>Mathcad Software</kwd>
			</kwd-group>
			<counts>
				<fig-count count="48"/>
				<table-count count="0"/>
				<equation-count count="56"/>
				<ref-count count="12"/>
				<page-count count="0"/>
			</counts>
		</article-meta>
	</front>
	<body>
		<sec sec-type="intro">
			<title>INTRODUCTION</title>
			<p>On an international scale, the broadcast distribution of mineral fertilizers is carried out fundamentally with the use of centrifugal disc spreaders with blades (<xref ref-type="fig" rid="f1">Fig. 1</xref>), due to their high distribution capacity and their constructional and operational simplicity. In spite of these advantages, a high demand in the correct selection of the parameters of the working process of these organs is required, to guarantee a high uniformity of fertilizer distribution in the field and consequently, the corresponding productive requisites</p>
			<p>
				<fig id="f1">
					<label>FIGURE 1</label>
					<caption>
						<title>Centrifugal spreader of mineral fertilizers.</title>
					</caption>
					<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf1.svg"/>
				</fig>
			</p>
			<p>In this sense, the modeling of the movement of fertilizer particles on the spreader disc has been object of study at different times by different authors (<xref ref-type="bibr" rid="B9">Turbin <italic>et al.</italic>, 1967</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B11">Villette <italic>et al.</italic>, 2005</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B2">Cerović <italic>et al.</italic>,2018</xref>), to determine the interrelation between the parameters involved in this process, such as: the diameter and angular velocity of the spreading disk, the position of the blades and the place of fall or feeding of the fertilizer on the disk, among others. The operation of a centrifugal fertilizer spreader has three phases or stages. In the first, the fertilizer is dropped by gravity from a mouth or gate located at the bottom of the hopper towards an area near the center of the disk (<xref ref-type="fig" rid="f1">Figure 1</xref>). During the second stage, the material to be distributed is transported towards the edge of the disk, under the action of a system of forces, led by the centrifugal force and subjected to the action of friction forces with the surfaces of the disk itself and the paddles. In the third phase, the material is launched into the field, its trajectory being determined by a ballistic flight under the action of the density and speed of the surrounding air.</p>
			<p>It is obvious that an adequate prediction and control of the movement of the particles in the second phase, starting from an adequate definition of the fertilizer drop point from the hopper gate, will allow adjusting both the outlet speed and the dispersion angle in the field of scattered particles. The modeling of the second phase has been approached by different authors. <xref ref-type="bibr" rid="B11">Villette <italic>et al.</italic> (2005)</xref> develop an analytical model to describe the movement of particles on a concave disk equipped with flat blades. The model allows establishing the relationship between the horizontal radial and tangential components of the output velocity, although it is not directly applicable to flat discs. <xref ref-type="bibr" rid="B2">Cerović <italic>et al.</italic> (2018)</xref> analyze the movement of an ideal, spherical and homogeneous fertilizer particle along a straight blade fixed to a rotating flat disc used in centrifugal mineral fertilizer spreaders. The analysis is carried out on a non-inertial reference system, applying the laws of classical mechanics. As a result, they propose a system of homogeneous ordinary differential equations of second order, the solution of which represents an approximation to the real relative motion of a fertilizer particle along a straight blade fixed radially to the disk rotating at constant angular velocity. The model is useful for the optimization of the parameters of this type of fertilizer distributor, although it is not applicable exactly in the case of pallets with an inclined disposition in relation to the radial direction. For this analysis <xref ref-type="bibr" rid="B2">Cerović <italic>et al.</italic> (2018)</xref>, build on earlier studies by <xref ref-type="bibr" rid="B1">Aphale <italic>et al.</italic> (2003)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B5">Dintwa <italic>et al.</italic> (2004)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B11">Villette <italic>et al.</italic> (2005)</xref>, although studies in this regard carried out in the 20th century reached a high level of development, such as those carried out by <xref ref-type="bibr" rid="B7">Mennel and Reece (1962)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B9">Turbin <italic>et al.</italic> (1967)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B6">Griffis <italic>et al.</italic> (1983)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B8">Olieslagers <italic>et al.</italic> (1996)</xref> . The latter enables the calculation of the movement of the particles when the disk is provided with inclined blades in relation to the radial direction, having served as the basis for the realization of the model and software that are exposed in this work, being completed until the determination of the fan of dispersion of the fertilizer particles at the outlet of the spreading disk. The third phase corresponding to the flight of the particle once it is propelled by the disk, has been approached by different authors like <xref ref-type="bibr" rid="B12">Walker <italic>et al.</italic> (1997)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B10">Van Liedekerke <italic>et al.</italic> (2009)</xref> and <xref ref-type="bibr" rid="B4">Cool <italic>et al.</italic> (2014</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B3">2016)</xref>, not constituting the object of study in this work, whose objective is to present a mathematical mechanical model that describes the dynamics of the movement of particles on a fertilizer distributor disk with inclined blades, as well as a software that, based on the application of the model, makes it possible to calculate the geometric and kinematic parameters that determine the output speed and the dispersion angle of the fertilizer at the outlet of the disks. </p>
		</sec>
		<sec sec-type="materials|methods">
			<title>MATERIALS AND METHODS</title>
			<p>The model presented is developed to determine the characteristic of the movement of the fertilizer particles on the spreading disk and in contact with the blades, which will allow determining the magnitude and direction of the speed with which they leave the disc depending on its geometric and kinematic parameters. For the elaboration of the model, the flat disk is considered, although conical disks are also used. As for the blades, they can be oriented in the radial direction, as well as with an inclination contrary to the rotation of the disk (rearward blades) and with an inclination in favor of the rotation of the disk. The latter case was selected for the elaboration of the model, as it is considered the most efficient in achieving a higher speed of particles launch with the same rotation speed of the disk. The analysis was carried out by obtaining the differential equation of the dynamics of the motion of a particle by applying the laws of classical mechanics (Newton´s Second Law). The analysis was carried out on a non-inertial reference system that rotates together with the disk, so it was necessary to take into account the “fictitious” forces (centrifugal force and Coriolis force) that act on the particle in this mobile system. The solution of the differential equation of motion was carried out by classical methods of mathematical analysis. The equations obtained from the solution of the differential equation of motion were programmed using the Mathcad software, version 2000 Professional, which made it possible to evaluate the model with specific data and obtain the output speed and angle of the fertilizer based on parameters of input such as: : inclination angle of blades, coefficient of friction between the fertilizer and the disk and blades material, dimensions and rotation speed of the disk and coordinates of the zone of the fertilizer fall from the mouth of the hopper.</p>
			<sec>
				<title>DEVELOPMENT</title>
				<p>In <xref ref-type="fig" rid="f2">Figure 2</xref>, the forces acting on a fertilizer particle in its interaction with the disk and bladeof the centrifugal distributor are shown.</p>
				<p>
					<fig id="f2">
						<label>FIGURE 2</label>
						<caption>
							<title>Forces acting on a particle in the centrifugal blade disk spreader.</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf2.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>As it can be seen in the figure, the following forces act on the particle: mg - Weight of the particle, acting perpendicular to the surface of the disk (Figure 5.6a), equal to the product of the particle mass (m) by the acceleration of gravity (g);</p>
				<p>Fcf - Centrifugal force, which is directed in the direction and sense of the radius-vector r ⃗ that locates the radial position of the particle with respect to the center of the disk. This force is expressed as:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e1">
						<mml:math>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>F</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>×</mml:mo>
							<mml:mo>(</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>×</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>)</mml:mo>
						</mml:math>
						<label>1</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Being its magnitude:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e2">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
						</mml:math>
						<label>2</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p><italic>Fco</italic> - Coriolis force, given by:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e3">
						<mml:math>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>F</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mover accent="true">
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ξ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>˙</mml:mo>
									</mml:mover>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>×</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
						</mml:math>
						<label>3</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>being its direction perpendicular to the vectors <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mover accent="true">
										<mml:mi>ξ</mml:mi>
										<mml:mo>˙</mml:mo>
									</mml:mover>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:mfrac>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mover accent="true">
											<mml:mi>ξ</mml:mi>
											<mml:mo>→</mml:mo>
										</mml:mover>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mi>t</mml:mi>
									</mml:mrow>
								</mml:mfrac>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (relative velocity of the particle with respect to the blade) and <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (angular velocity of the disk), its direction is opposite to the rotation speed of the disk, while its magnitude is given by:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e4">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>˙</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math> .<label>4</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p><italic>Fp</italic><sub><italic>cf</italic></sub> - Friction force between the blade and the particle product of the centrifugal force:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e5">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>p</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sin</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
						<label>5</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>where <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo> </mml:mo>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>is the coefficient of friction due to friction between the particle and the material of the blade; ψ is the angle between the direction of the centrifugal force and the direction of relative motion <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
									<mml:mo>→</mml:mo>
								</mml:mover>
								<mml:mo> </mml:mo>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>of the particle with respect to the blade; Fpco - Friction force between the blade and the particle product of the Coriolis force:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e6">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>p</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>˙</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math>
						<label>6</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p><italic>Fp</italic><sub><italic>g</italic></sub> - Friction force between disk and particle:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e7">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>p</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>g</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>g</mml:mi>
						</mml:math>
						<label>7</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>In general, the material of the disk is the same as the blades, in which case the coefficient of friction between the disc and the particle <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>f</mml:mi>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mo> </mml:mo>
									</mml:mrow>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>=<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mo> </mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo> </mml:mo>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>. Stating the Newton's Second Law in the non-inertial system the differential equation of the motion of the particle in the direction of the blade is obtained:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e8">
						<mml:math>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mi>g</mml:mi>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sin</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>t</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
						</mml:math> .<label>8</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>From <xref ref-type="fig" rid="f2">Figure 2 b)</xref> it can be seen that:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e9">
						<mml:math>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mo>(</mml:mo>
									<mml:mi>π</mml:mi>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ψ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>)</mml:mo>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>..<label>9</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>where: ξ - path traveled by the particle along the blade, measured from the beginning of the blade;</p>
				<p>ro - initial radius vector, directed from the center of the disk to the beginning of the blade;</p>
				<p> ψ<sub>o</sub> - initial value of the angle ψ between the radio vector<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mo> </mml:mo>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mi>r</mml:mi>
									<mml:mo>→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> and the blade. It is also possible to state that:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e10">
						<mml:math>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sen</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sen</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mo>(</mml:mo>
									<mml:mi>π</mml:mi>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ψ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>)</mml:mo>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>c</mml:mi>
							<mml:mi>t</mml:mi>
							<mml:mi>e</mml:mi>
							<mml:mo>.</mml:mo>
						</mml:math>.<label>10</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>On the other hand, the friction coefficient μ<sub>f</sub> can be expressed indistinctly as friction angle ϕ<sub>f</sub> through the relation:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e11">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">tan</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ϕ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>.<label>11</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Substituting <xref ref-type="disp-formula" rid="e9">9</xref>, <xref ref-type="disp-formula" rid="e10">10</xref> and <xref ref-type="disp-formula" rid="e11">11</xref> in <xref ref-type="disp-formula" rid="e8">8</xref> and carrying out some transformations, the following expression is obtained for the differential equation of the relative motion of the particle on the disk:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e12">
						<mml:math>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>t</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mo>+</mml:mo>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>⁡</mml:mo>
										<mml:mrow>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:mi>π</mml:mi>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>o</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:mi> </mml:mi>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mrow>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ϕ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>g</mml:mi>
						</mml:math>
						<label>12</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>which is an ordinary linear and non-homogeneous 2nd order differential equation with constant coefficients, whose general solution can be determined as the sum of the solution of the homogeneous equation and the particular solution of the non-homogeneous equation.</p>
				<p>
					<disp-formula id="e13">
						<mml:math>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>h</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math>.<label>13</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>The homogeneous part of this equation is expressed as:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e14">
						<mml:math>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>t</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>0</mml:mn>
						</mml:math>.<label>14</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>having the general solution of the form:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e15">
						<mml:math>
							<mml:mi> </mml:mi>
							<mml:mi> </mml:mi>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>h</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
						</mml:math>
						<label>15</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>where C<sub>1</sub> and C<sub>2</sub> are the integration constants, while λ<sub>1</sub> and λ<sub>2</sub> are the roots of the characteristic equation: </p>
				<p>
					<disp-formula id="e16">
						<mml:math>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>λ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>λ</mml:mi>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>0</mml:mn>
						</mml:math> .<label>16</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>
					<disp-formula id="e17">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>λ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfenced separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>+</mml:mo>
									<mml:msqrt>
										<mml:mn>1</mml:mn>
										<mml:mo>+</mml:mo>
										<mml:msup>
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>μ</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>f</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
											</mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mn>2</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msup>
									</mml:msqrt>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math>
						<label>17</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>
					<disp-formula id="e18">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>λ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfenced separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>+</mml:mo>
									<mml:msqrt>
										<mml:mn>1</mml:mn>
										<mml:mo>+</mml:mo>
										<mml:msup>
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>μ</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>f</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
											</mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mn>2</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msup>
									</mml:msqrt>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math> .<label>18</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>A particular solution for the non-homogeneous <xref ref-type="disp-formula" rid="e12">Equation 12</xref> can be determined by applying the indeterminate constant method:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e19">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>C</mml:mi>
						</mml:math>.<label>19</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Differentiating <xref ref-type="disp-formula" rid="e19">19</xref> and substituting in <xref ref-type="disp-formula" rid="e12">Equation 12</xref>, the following particular solution of the non-homogeneous differential equation is obtained:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e20">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>⁡</mml:mo>
										<mml:mrow>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:mi>π</mml:mi>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>o</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mrow>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ϕ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:mi>g</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
						</mml:math> .<label>20</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Substituting <xref ref-type="disp-formula" rid="e15">15</xref> and <xref ref-type="disp-formula" rid="e20">20</xref> into <xref ref-type="disp-formula" rid="e13">13</xref>, the solution of the differential <xref ref-type="disp-formula" rid="e12">equation 12</xref> takes the following form: <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mo> </mml:mo>
						</mml:math>
					</inline-formula>
				</p>
				<p>
					<disp-formula id="e21">
						<mml:math>
							<mml:mi> </mml:mi>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>⁡</mml:mo>
										<mml:mrow>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:mi>π</mml:mi>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>o</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mrow>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ϕ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>g</mml:mi>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
						</mml:math>.<label>21</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Finally, Equation 5.25 is evaluated for the initial conditions, corresponding to the starting position of the blades, where for t = 0; ξ = 0 and the velocity of the particles dξ/dt = 0. In this way, the solution of the differential equation of the motion of the particle is finally obtained:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e22">
						<mml:math>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>g</mml:mi>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>μ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ω</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>d</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>r</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mfenced separators="|">
														<mml:mrow>
															<mml:mi>π</mml:mi>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ψ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>o</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ϕ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>f</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
														</mml:mrow>
													</mml:mfenced>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
											<mml:mi>s</mml:mi>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>1</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>2</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math>
						<label>22</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>A graph of this expression, evaluated for certain conditions, is shown in Figure 5.7, showing that the residence time of the particles on the disk is of the order of hundredths of a second.</p>
				<p>
					<fig id="f3">
						<label>FIGURE 3</label>
						<caption>
							<title>Variation as a function of time of the relative displacement of the particles along a disk with advanced blades rotating at 800 r.p.m</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf3.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>Deriving <xref ref-type="disp-formula" rid="e22">expression 22</xref> with respect to time, the relative velocity of the particles along the distributor blades is obtained:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e23">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>v</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>g</mml:mi>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>μ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ω</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>d</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>r</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mfenced separators="|">
														<mml:mrow>
															<mml:mi>π</mml:mi>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ψ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>o</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ϕ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>f</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
														</mml:mrow>
													</mml:mfenced>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
											<mml:mi>s</mml:mi>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>1</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>2</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math>.<label>23</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>The magnitude of the radio vector that joins the center of the disk with the instantaneous position of the particles is determined as follows:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e24">
						<mml:math>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>(</mml:mo>
							<mml:mi>t</mml:mi>
							<mml:mo>)</mml:mo>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msqrt>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>ξ</mml:mi>
														<mml:mo>+</mml:mo>
														<mml:mi>r</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>o</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
												<mml:mo>∙</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mo>⁡</mml:mo>
													<mml:mrow>
														<mml:msub>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>ψ</mml:mi>
															</mml:mrow>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>o</mml:mi>
															</mml:mrow>
														</mml:msub>
													</mml:mrow>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
								<mml:mo>+</mml:mo>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>r</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>o</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
												<mml:mo>∙</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi mathvariant="normal">sen</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mo>⁡</mml:mo>
													<mml:mrow>
														<mml:msub>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>ψ</mml:mi>
															</mml:mrow>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>o</mml:mi>
															</mml:mrow>
														</mml:msub>
													</mml:mrow>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
							</mml:msqrt>
						</mml:math>
						<label>24</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Substituting <xref ref-type="disp-formula" rid="e22">expression 22</xref> for ξ = f(t) in <xref ref-type="disp-formula" rid="e24">expression 24</xref> and evaluating for the maximum magnitude of the radio vector re (outer radius of the disk), it is possible to obtain the residence time (tp) of the particles in the disk, since it is fed (position r<sub>o</sub>, ψ<sub>o</sub>) until it reaches the outer edge of the disk (position r<sub>e</sub>, ψ<sub>e</sub>). In that time, the disk will have rotated an angle <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
									<mml:mi>a</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> and also the particle will have traveled an angle in its relative motion: <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>−</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo> </mml:mo>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>in such a way that the outlet angle of the particles will be given by:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e25">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>θ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>s</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>=</mml:mo>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mo>(</mml:mo>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>)</mml:mo>
						</mml:math>
						<label>25</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>By evaluating these expressions for the feeding points 1 and 2 (<xref ref-type="fig" rid="f4">Figure 4</xref>) that form a strip <italic>bf</italic> at the beginning of the blade , it is possible to obtain the angles (θ<sub>s1</sub> and θ<sub>s2</sub>) that define the fertilizer outlet points at the edge of the disk , the outlet angle being delimited by the vectors <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mrow>
												<mml:mi>a</mml:mi>
												<mml:mi>b</mml:mi>
											</mml:mrow>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> that correspond to the absolute fertilizer outlet velocities, which are determined by the vector sum of the drag velocity <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:mo> </mml:mo>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mi>a</mml:mi>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (tangent to the outer edge of the disk) and the relative velocity <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mi>r</mml:mi>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> of the particles, whose direction is collinear with the direction of the blades.</p>
				<p>
					<fig id="f4">
						<label>FIGURE 4</label>
						<caption>
							<title>Fertilizer outlet conditions in the centrifugal disk.</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf4.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>The modulus of the ground speed is determined by the expression:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e26">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>v</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>a</mml:mi>
									<mml:mi>b</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msqrt>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>v</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>a</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
								<mml:mo>+</mml:mo>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>v</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>r</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
												<mml:mo>∙</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mo>⁡</mml:mo>
													<mml:mrow>
														<mml:msub>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>ψ</mml:mi>
															</mml:mrow>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>e</mml:mi>
															</mml:mrow>
														</mml:msub>
													</mml:mrow>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
							</mml:msqrt>
						</mml:math>.<label>26</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>The drag speed <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>v</mml:mi>
									<mml:mi>a</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:msub>
									<mml:mi>r</mml:mi>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> while the relative speed is determined by expression 23. The fertilizer dispersion angle (θ<sub>s</sub>), will be limited by the directions of <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mrow>
												<mml:mi>a</mml:mi>
												<mml:mi>b</mml:mi>
												<mml:mn>1</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> and <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mrow>
												<mml:mi>a</mml:mi>
												<mml:mi>b</mml:mi>
												<mml:mn>2</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (<xref ref-type="fig" rid="f4">Figure 4</xref>), being determined by the expression:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e27">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>θ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>s</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>=</mml:mo>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math> .<label>27</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>where:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e28">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">tan</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>v</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>e</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>;</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">tan</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>v</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>e</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
						<label>28</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>The programming in Mathcad of the equations obtained is shown through an exercise that is exposed below, showing the screenshots of the run of the program that has been called &quot;CENTRIFERT”:</p>
			</sec>
			<sec>
				<title>Demonstration Exercise</title>
				<p>Determine the zone (bf) for placing the fertilizer on a centrifugal disk with advanced blades, in order to obtain a dispersion angle of 90<sup>o</sup> ± 2<sup>o</sup> in the opposite direction to the advance of the machine. The following data are known: </p>
				<p>
					<list list-type="bullet">
						<list-item>
							<p>Disk rotation speed: n<sub>d</sub> = 540 r.p.m.; </p>
						</list-item>
						<list-item>
							<p>External radius of the disk: r<sub>e</sub> = 25 cm; </p>
						</list-item>
						<list-item>
							<p>Angle of the blade with the final radius-vector: ψ<sub>e</sub> = 20<sup>o</sup>;</p>
						</list-item>
						<list-item>
							<p>Coefficient of friction of the fertilizer on the disk and the blade's material: m<sub><italic>f</italic></sub> = 0.6 </p>
						</list-item>
					</list>
				</p>
			</sec>
			<sec>
				<title>Solution of the Exercise using the Program &quot;CENTRIFERT&quot;</title>
				<p>
					<list list-type="bullet">
						<list-item>
							<p>Coefficient of friction of the fertilizer on the paddle and disc material: µf = 0.6 Exercise solution using the &quot;CENTRIFERT&quot; program: the &quot;CENTRIFERT&quot; program:</p>
						</list-item>
					</list>
				</p>
				<p>
					<fig id="f5">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf5.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f6">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf6.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f7">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf7.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f8">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf8.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f9">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf9.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f10">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf10.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f11">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf11.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f12">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf12.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f13">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf13.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f14">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf14.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f15">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf15.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f16">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf16.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f17">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf17.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f18">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf18.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f19">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf19.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f20">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf20.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f21">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf21.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f22">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf22.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>
					<fig id="f23">
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf23.svg"/>
					</fig>
				</p>
			</sec>
			<sec>
				<title>COMMENT ON THE PROGRAM RUN</title>
				<p>As it can be seen from the program run, the angles corresponding to the fertilizer outlet points in extreme positions 1 and 2 corresponding to the fertilizer positioning band bf = 7.945 cm are obtained in graphical form (graphs in polar coordinates). Now, as explained, the fertilizer application or launch band (shaded area in <xref ref-type="fig" rid="f24">Figure 5</xref>) will be framed by the directions of the absolute velocities (<italic>Vab</italic><sub><italic>1</italic></sub> and <italic>Vab</italic><sub><italic>2</italic></sub>), which have been determined on the basis of the values of the relative speeds (<italic>Vr</italic><sub><italic>1</italic></sub> and <italic>Vr</italic><sub><italic>2</italic></sub>) and the drag speed <italic>Va</italic>. In <xref ref-type="fig" rid="f24">Figure 5</xref>, the angle <bold>β</bold><sub>o1</sub> has been retracted 90<sup>o</sup> approximately, to achieve that the fertilizer launching fan is located in the opposite direction to that of the movement of the machine.</p>
				<p>
					<fig id="f24">
						<label>FIGURE 5</label>
						<caption>
							<title>Construction of the fertilizer release finger</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf24.svg"/>
					</fig>
				</p>
			</sec>
		</sec>
		<sec sec-type="conclusions">
			<title>CONCLUSIONS</title>
			<p>
				<list list-type="bullet">
					<list-item>
						<p>An analytical model was obtained that describes the movement of particles on a spreader disk for fertilizers of the centrifugal type with straight blades inclined in relation to the radial direction. </p>
					</list-item>
					<list-item>
						<p>As a result of programming the model in Mathcad, the calculation of the fertilizer output parameters (output speed and dispersion angle) was possible based on input parameters such as: the angle of inclination of the blades, the coefficient of friction between the fertilizer and the material of the disc and the blades, the dimensions and speed of rotation of the disk and the coordinates of the area where the fertilizer falls from the hopper mouth.</p>
					</list-item>
					<list-item>
						<p>As a result of the execution of a demonstrating exercise, applying the program &quot;CENTRIFERT&quot;, a dispersion angle of the particles θ<sub>s</sub> ≈ 90° was obtained. The width of the fertilizer feeding band on the disk was bf≈7.5 cm.</p>
					</list-item>
				</list>
			</p>
		</sec>
	</body>
	<back>
		<ref-list>
			<title>REFERENCES</title>
			<ref id="B1">
				<mixed-citation>APHALE, A.; BOLANDER, N.; PARK, J.; SHAW, L.; SVEC, J.; WASSGREN, C.: “Granular fertilizer particle dynamics on and off a spinner spreader”, <italic>Biosystem Engineering</italic>, 85: 319-329, 2003, ISSN: 1537-5110, e-ISSN: 1537-5129.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>APHALE</surname>
							<given-names>A.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>BOLANDER</surname>
							<given-names>N.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>PARK</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>SHAW</surname>
							<given-names>L.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>SVEC</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>WASSGREN</surname>
							<given-names>C.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>Granular fertilizer particle dynamics on and off a spinner spreader</article-title>
					<source>Biosystem Engineering</source>
					<volume>85</volume>
					<fpage>319</fpage>
					<lpage>329</lpage>
					<year>2003</year>
					<issn>1537-5110</issn>
					<issn>1537-5129</issn>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B2">
				<mixed-citation>CEROVIĆ, V.B.; DRAGAN, V.P.; RADE, L.R.; SAŠA, R.B.; VUKOVIĆ, A.: “On the Fertilizer Particle Motion Along the Vane of a Centrifugal Spreader Disc Assuming Pure Sliding of the Particle”, <italic>Journal of Agricultural Sciences</italic>, 63(1): 83-97, 2018, ISSN: 0021-8596, DOI: <ext-link ext-link-type="uri" xlink:href="https://dx.doi.org/10.2298/JAS1801083C">https://dx.doi.org/10.2298/JAS1801083C</ext-link>. UDC: 631.33.022.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>CEROVIĆ</surname>
							<given-names>V.B.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>DRAGAN</surname>
							<given-names>V.P.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>RADE</surname>
							<given-names>L.R.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>SAŠA</surname>
							<given-names>R.B.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>VUKOVIĆ</surname>
							<given-names>A.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>On the Fertilizer Particle Motion Along the Vane of a Centrifugal Spreader Disc Assuming Pure Sliding of the Particle</article-title>
					<source>Journal of Agricultural Sciences</source>
					<volume>63</volume>
					<issue>1</issue>
					<fpage>83</fpage>
					<lpage>97</lpage>
					<year>2018</year>
					<issn>0021-8596</issn>
					<pub-id pub-id-type="doi">10.2298/JAS1801083C</pub-id>
					<comment>UDC: 631.33.022</comment>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B3">
				<mixed-citation>COOL, R.S.; PIETERS, G.J.; ACKER, V.J.; VAN DEN, B.J.; MERTENS, C.K.; NUYTTENS, R.E.D.; VAN DE GUCHT, C.T.; VANGEYTE, J.: “Determining the effect of wind on the ballistic flight of fertilizer particles”, <italic>Biosystems Engineering</italic>, 151: 425-434, 2016, ISSN: 1537-5110, e-ISSN: 1537-5129.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>COOL</surname>
							<given-names>R.S.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>PIETERS</surname>
							<given-names>G.J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>ACKER</surname>
							<given-names>V.J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>VAN DEN</surname>
							<given-names>B.J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>MERTENS</surname>
							<given-names>C.K.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>NUYTTENS</surname>
							<given-names>R.E.D.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>VAN DE GUCHT</surname>
							<given-names>C.T.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>VANGEYTE</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>Determining the effect of wind on the ballistic flight of fertilizer particles</article-title>
					<source>Biosystems Engineering</source>
					<volume>151</volume>
					<fpage>425</fpage>
					<lpage>434</lpage>
					<year>2016</year>
					<issn>1537-5110</issn>
					<issn>1537-5129</issn>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B4">
				<mixed-citation>COOL, R.S.; PIETERS, J.; MERTENS, C.K.; HIJAZI, B.; VANGEYTE, J.: “A simulation of the influence of spinning on the Ballistic flight of spherical fertilizer grains”, <italic>Computers and Electronics in Agriculture</italic>, 105: 121-131, 2014, ISSN: 0168-1699.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>COOL</surname>
							<given-names>R.S.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>PIETERS</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>MERTENS</surname>
							<given-names>C.K.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>HIJAZI</surname>
							<given-names>B.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>VANGEYTE</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>A simulation of the influence of spinning on the Ballistic flight of spherical fertilizer grains</article-title>
					<source>Computers and Electronics in Agriculture</source>
					<volume>105</volume>
					<fpage>121</fpage>
					<lpage>131</lpage>
					<year>2014</year>
					<issn>0168-1699</issn>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B5">
				<mixed-citation>DINTWA, E.; TIJSKENS, E.; OLIESLAGERS, R.; DE BAERDEMAEKER, J.; RAMON, H.: “Calibration of a spinning disc spreader simulation model for accurate site specific fertilizer application”, <italic>Biosystem Engineering</italic>, 88: 49-62, 2004, ISSN: 1537-5110, e-ISSN: 1537-5129.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>DINTWA</surname>
							<given-names>E.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>TIJSKENS</surname>
							<given-names>E.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>OLIESLAGERS</surname>
							<given-names>R.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>DE BAERDEMAEKER</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>RAMON</surname>
							<given-names>H.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>Calibration of a spinning disc spreader simulation model for accurate site specific fertilizer application</article-title>
					<source>Biosystem Engineering</source>
					<volume>88</volume>
					<fpage>49</fpage>
					<lpage>62</lpage>
					<year>2004</year>
					<issn>1537-5110</issn>
					<issn>1537-5129</issn>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B6">
				<mixed-citation>GRIFFIS, C.L.; RITTER, D.W.; MATTHEWS, E.J.: “Simulation of rotary spreader distribution patterns”, <italic>Transactions of the ASAE,</italic> 26(1): 33-37, 1983, ISSN: 2151-0032.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>GRIFFIS</surname>
							<given-names>C.L.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>RITTER</surname>
							<given-names>D.W.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>MATTHEWS</surname>
							<given-names>E.J.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>Simulation of rotary spreader distribution patterns</article-title>
					<source>Transactions of the ASAE</source>
					<volume>26</volume>
					<issue>1</issue>
					<fpage>33</fpage>
					<lpage>37</lpage>
					<year>1983</year>
					<issn>2151-0032</issn>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B7">
				<mixed-citation>MENNEL, F.I.; REECE, A.R.: “The theory of the centrifugal distributor: II. Motion on the disc, off-center feed”, <italic>Journal of Agricultural Engineering Reearch</italic>, 7(4): 345-353, 1962.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>MENNEL</surname>
							<given-names>F.I.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>REECE</surname>
							<given-names>A.R.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>The theory of the centrifugal distributor: II. Motion on the disc, off-center feed</article-title>
					<source>Journal of Agricultural Engineering Reearch</source>
					<volume>7</volume>
					<issue>4</issue>
					<fpage>345</fpage>
					<lpage>353</lpage>
					<year>1962</year>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B8">
				<mixed-citation>OLIESLAGERS, R.; RAMON, H.; DE BAERDEMAEKER, J.: “Calculation of fertilizer distribution patterns from a spinning discspreader by means of a simulation model”, . <italic>Journal of Agricultural Engineering Reearch</italic>, 63: 137-152., 1996.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>OLIESLAGERS</surname>
							<given-names>R.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>RAMON</surname>
							<given-names>H.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>DE BAERDEMAEKER</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>Calculation of fertilizer distribution patterns from a spinning discspreader by means of a simulation model</article-title>
					<source>Journal of Agricultural Engineering Reearch</source>
					<volume>63</volume>
					<fpage>137</fpage>
					<lpage>152</lpage>
					<year>1996</year>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B9">
				<mixed-citation>TURBIN, B.G.; LURIÉ, A.B.; GRIGORIEV, C.M.; IVANOVICH, Z.M.; MELNIKOV, C.B.: <italic>Máquinas Agrícolas. Teoría y Cálculo Tecnológico</italic>, Ed. Machinostroienie, En idioma ruso ed., Leningrado, Rusia, 1967.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="book">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>TURBIN</surname>
							<given-names>B.G.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>LURIÉ</surname>
							<given-names>A.B.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>GRIGORIEV</surname>
							<given-names>C.M.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>IVANOVICH</surname>
							<given-names>Z.M.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>MELNIKOV</surname>
							<given-names>C.B.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<source>Máquinas Agrícolas. Teoría y Cálculo Tecnológico</source>
					<publisher-name>Machinostroienie</publisher-name>
					<comment>En idioma ruso</comment>
					<publisher-loc>Leningrado, Rusia</publisher-loc>
					<year>1967</year>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B10">
				<mixed-citation>VAN LIEDEKERKE, P.; THIJSKENS, E.; DINTWA, E.; RIOUAL, F.; VANGEYTE, J.; RAMON, H.: “DEM simulations of the particle flow on a centrifugal fertilizer spreader”, <italic>Powder Technology</italic>, 190: 346-360, 2009, ISSN: 0032-5910.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>VAN LIEDEKERKE</surname>
							<given-names>P.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>THIJSKENS</surname>
							<given-names>E.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>DINTWA</surname>
							<given-names>E.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>RIOUAL</surname>
							<given-names>F.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>VANGEYTE</surname>
							<given-names>J.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>RAMON</surname>
							<given-names>H.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>DEM simulations of the particle flow on a centrifugal fertilizer spreader</article-title>
					<source>Powder Technology</source>
					<volume>190</volume>
					<fpage>346</fpage>
					<lpage>360</lpage>
					<year>2009</year>
					<issn>0032-5910</issn>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B11">
				<mixed-citation>VILLETTE, S.; COINTAULT, F.; PIRON, E.; CHOPINET, B.: “Centrifugal Spreading, an Analytical Model for the Motion of Fertiliser Particles on a Spinning Disc”, <italic>Biosystem Engineering</italic>, 92(2): 157-165, 2005, ISSN: 1537-5110, e-ISSN: 1537-5129.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>VILLETTE</surname>
							<given-names>S.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>COINTAULT</surname>
							<given-names>F.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>PIRON</surname>
							<given-names>E.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>CHOPINET</surname>
							<given-names>B.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>Centrifugal Spreading, an Analytical Model for the Motion of Fertiliser Particles on a Spinning Disc</article-title>
					<source>Biosystem Engineering</source>
					<volume>92</volume>
					<issue>2</issue>
					<fpage>157</fpage>
					<lpage>165</lpage>
					<year>2005</year>
					<issn>1537-5110</issn>
					<issn>1537-5129</issn>
				</element-citation>
			</ref>
			<ref id="B12">
				<mixed-citation>WALKER, J.T.; GRIFT, T.E.; HOFSTEE, J.W.: “Determining effects of fertiliser particle shape on aerodynamic properties”, <italic>Transactions of the ASAE</italic>, 40: 21-27, 1997, ISSN: 2151-0032.</mixed-citation>
				<element-citation publication-type="journal">
					<person-group person-group-type="author">
						<name>
							<surname>WALKER</surname>
							<given-names>J.T.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>GRIFT</surname>
							<given-names>T.E.</given-names>
						</name>
						<name>
							<surname>HOFSTEE</surname>
							<given-names>J.W.</given-names>
						</name>
					</person-group>
					<article-title>Determining effects of fertiliser particle shape on aerodynamic properties</article-title>
					<source>Transactions of the ASAE</source>
					<volume>40</volume>
					<fpage>21</fpage>
					<lpage>27</lpage>
					<year>1997</year>
					<issn>2151-0032</issn>
				</element-citation>
			</ref>
		</ref-list>
		<fn-group>
			<fn fn-type="other" id="fn5">
				<p>The mention of trademarks of specific equipment, instruments or materials is for identification purposes, there being no promotional commitment in relation to them, neither by the authors nor by the publisher.</p>
			</fn>
		</fn-group>
	</back>
	<sub-article article-type="translation" id="s1" xml:lang="es">
		<front-stub>
			<article-categories>
				<subj-group subj-group-type="heading">
					<subject>SOFTWARE</subject>
				</subj-group>
			</article-categories>
			<title-group>
				<article-title>Modelo y software para el cálculo de parámetros en discos centrífugos esparcidores de fertilizante</article-title>
			</title-group>
			<contrib-group>
				<contrib contrib-type="author">
					<name>
						<surname>Martínez-Rodríguez</surname>
						<given-names>Arturo</given-names>
						<prefix>Dr.Cs.</prefix>
					</name>
					<xref ref-type="aff" rid="aff3"><sup>I</sup></xref>
					<xref ref-type="corresp" rid="c2"><sup>*</sup></xref>
				</contrib>
				<contrib contrib-type="author">
					<name>
						<surname>Gómez-Águila</surname>
						<given-names>María Victoria</given-names>
						<prefix>MSc.</prefix>
					</name>
					<xref ref-type="aff" rid="aff4"><sup>II</sup></xref>
				</contrib>
				<contrib contrib-type="author">
					<name>
						<surname>Soto Escobar</surname>
						<given-names>Martín</given-names>
						<prefix>MC.</prefix>
					</name>
					<xref ref-type="aff" rid="aff4"><sup>II</sup></xref>
				</contrib>
			</contrib-group>
			<aff id="aff3">
				<label>I</label>
				<institution content-type="original">Universidad Agraria de La Habana (UNAH), Facultad de Ciencias Técnicas, Centro de Mecanización Agropecuaria (CEMA), San José de las Lajas, Mayabeque, Cuba.</institution>
			</aff>
			<aff id="aff4">
				<label>II</label>
				<institution content-type="original">Universidad Autónoma Chapingo, Texcoco, Edo. México, Estados Unidos Mexicanos.</institution>
			</aff>
			<author-notes>
				<corresp id="c2">
					<label>*</label>Author for correspondence: Arturo Martínez-Rodríguez, e-mail: <email>armaro466@gmail.com</email>
				</corresp>
			</author-notes>
			<abstract>
				<title>RESUMEN</title>
				<p>A escala internacional, la distribución a voleo de fertilizantes minerales se efectúa fundamentalmente con el empleo de esparcidores centrífugos de disco con paletas, debido a su alta capacidad de distribución, acompañado de simplicidad constructiva y de operación. No obstante, estas ventajas, se requiere una alta exigencia en la correcta selección de los parámetros que intervienen en el proceso de trabajo de estos órganos, como requisito fundamental para garantizar una alta uniformidad de distribución del fertilizante en el campo, que garantice los requerimientos productivos correspondientes. En el presente trabajo se presenta un modelo que ha sido elaborado con vistas a determinar la característica del movimiento de las partículas de fertilizante sobre el disco esparcidor dotado de paletas inclinadas con relación a la dirección radial. El análisis se realiza obteniendo la ecuación diferencial de la dinámica del movimiento de una partícula mediante la aplicación de las leyes de la mecánica clásica newtoniana. Las ecuaciones obtenidas de la solución de la ecuación diferencial del movimiento son programadas empleando el software Mathcad, versión 2000 Professional, lo cual posibilita evaluar el modelo con datos concretos y obtener como salida, la velocidad y ángulo de salida del fertilizante en función de parámetros de entrada tales como: el ángulo de inclinación de las paletas, el coeficiente de fricción entre el fertilizante y el material del disco y las paletas, las dimensiones y velocidad de rotación del disco y las coordenadas de la zona de caída del fertilizante desde la boca de la tolva.</p>
			</abstract>
			<kwd-group xml:lang="es">
				<title><bold><italic>Palabras clave</italic></bold>:</title>
				<kwd>Paletas inclinadas</kwd>
				<kwd>uniformidad de distribución</kwd>
				<kwd>software Mathcad</kwd>
			</kwd-group>
		</front-stub>
		<body>
			<sec sec-type="intro">
				<title>INTRODUCCIÓN</title>
				<p>A escala internacional, la distribución a voleo de fertilizantes minerales se efectúa fundamentalmente con el empleo de esparcidores centrífugos de disco con paletas (<xref ref-type="fig" rid="f25">Fig. 1</xref>), debido a su alta capacidad de distribución, acompañado de simplicidad constructiva y de operación. No obstante, estas ventajas, se requiere una alta exigencia en la correcta selección de los parámetros que intervienen en el proceso de trabajo de estos órganos, como requisito fundamental para garantizar una alta uniformidad de distribución del fertilizante en el campo, que garantice los requerimientos productivos correspondientes. </p>
				<p>
					<fig id="f25">
						<label>FIGURA 1</label>
						<caption>
							<title>Órgano distribuidor centrífugo de fertilizantes minerales.</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf25.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>En este sentido, la modelación del movimiento de las partículas de fertilizante sobre el disco esparcidor ha sido objeto de estudio en diferentes épocas por diferentes autores <xref ref-type="bibr" rid="B9">Turbin <italic>et al.</italic> (1967)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B11">Villette <italic>et al.</italic> (2005)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B2">Cerović <italic>et al.</italic> (2018)</xref>, con vistas a determinar la interrelación entre los parámetros que intervienen en este proceso, tales como: el diámetro y velocidad angular del disco esparcidor; la posición de las paletas y el lugar de caída o alimentación del fertilizante sobre el disco, entre otros.</p>
				<p>El funcionamiento de una esparcidora centrífuga de fertilizantes presenta tres fases o etapas. En la primera el fertilizante es dejado caer por gravedad desde una boca o compuerta situada en el fondo de la tolva hacia una zona cercana al centro del disco (<xref ref-type="fig" rid="f25">Fig. 1</xref>). Durante la segunda etapa, el material a distribuir es transportado hacia el borde del disco, bajo la acción de un sistema de fuerzas, encabezadas por la fuerza centrífuga y sometido a la acción de las fuerzas de fricción con las superficies del propio disco y de las paletas. En la tercera fase, el material es lanzado al campo, estando su trayectoria determinada por un vuelo balístico bajo la acción de la densidad y velocidad del aire circundante.</p>
				<p>Es obvio que una adecuada predicción y control del movimiento de las partículas en la segunda fase, partiendo de una definición adecuada del punto de caída de fertilizante desde la compuerta de la tolva, permitirá ajustar, tanto la velocidad de salida, como el ángulo de dispersión en el campo de las partículas esparcidas.</p>
				<p>La modelación de la segunda fase ha sido abordada por diferentes autores. <xref ref-type="bibr" rid="B11">Villette <italic>et al.</italic> (2005)</xref> elaboran un modelo analítico para describir el movimiento de partículas sobre un disco cóncavo equipado con paletas planas. El modelo permite establecer la relación entre los componentes horizontales radial y tangencial de la velocidad de salida, aunque no es aplicable directamente a discos planos. <xref ref-type="bibr" rid="B2">Cerović <italic>et al.</italic> (2018)</xref> analizan el movimiento de una partícula de fertilizante ideal, esférica y homogénea a lo largo de una paleta recta fijada a un disco plano rotatorio utilizado en las esparcidoras centrífugas de fertilizantes minerales. El análisis se realiza sobre un sistema de referencia no inercial, aplicando las leyes de la mecánica clásica. Como resultado arriba a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas de segundo orden, cuya solución representa una aproximación del movimiento relativo real de una partícula de fertilizante a lo largo de una paleta recta fijada en posición radial al disco que rota a velocidad angular constante. El modelo es de utilidad para la optimización de los parámetros de este tipo de distribuidor de fertilizantes, aunque no es aplicable con exactitud en el caso de paletas con disposición inclinada con relación a la dirección radial. Para este análisis, <xref ref-type="bibr" rid="B2">Cerović, et.al.</xref> se apoyan en estudios anteriores efectuados por <xref ref-type="bibr" rid="B1">Aphale <italic>et al.</italic> (2003)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B5">Dintwa <italic>et al.</italic> (2004)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B11">Villette <italic>et al.</italic> (2005)</xref>, aunque ya estudios al respecto realizados en el siglo XX alcanzaban un alto nivel de desarrollo, tales como los realizados por <xref ref-type="bibr" rid="B7">Mennel y Reece (1962)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B9">Turbin <italic>et al.</italic> (1967)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B6">Griffis <italic>et al.</italic> (1983)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B8">Olieslagers <italic>et al.</italic> (1996)</xref>. Este último posibilita el cálculo del movimiento de las partículas cuando el disco está provisto de paletas inclinadas con relación a la dirección radial, habiendo servido de base para la realización del modelo y software que se expone en este trabajo, siendo completado hasta la determinación del abanico de dispersión de las partículas de fertilizante a la salida del disco esparcidor. La tercera fase correspondiente al vuelo de la partícula una vez que es impulsada por el disco, ha sido abordada por diferentes autores <xref ref-type="bibr" rid="B12">Walker <italic>et al.</italic> (1997)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B10">Van Liedekerke <italic>et al.</italic> (2009)</xref>; <xref ref-type="bibr" rid="B4">Cool <italic>et al.</italic> (2014</xref>, <xref ref-type="bibr" rid="B3">2016)</xref>, no constituyendo objeto de estudio en este trabajo, cuyo objetivo es exponer un modelo mecánico matemático que describa la dinámica del movimiento de las partículas sobre un disco distribuidor de fertilizantes con paletas inclinadas, así como un software que, basado en la aplicación del modelo, viabilice el cálculo de los parámetros geométricos y cinemáticos que determinan la velocidad de salida y el abanico de dispersión del fertilizante a la salida de los discos. </p>
			</sec>
			<sec sec-type="materials|methods">
				<title>MATERIALES Y MÉTODOS</title>
				<p>El modelo que se presenta es elaborado con vistas a determinar la característica del movimiento de las partículas de fertilizante sobre el disco esparcidor y en contacto con las paletas, lo que permitirá determinar la magnitud y dirección de la velocidad con que éstas abandonan el disco en función de los parámetros geométricos y cinemáticos de éste. </p>
				<p>Para la elaboración del modelo se parte de considerar el disco plano, aunque también se emplean discos cónicos. En cuanto a las paletas, las mismas pueden estar orientadas en la dirección radial, así como con inclinación contraria a la rotación del disco (paletas atrasadas) y con inclinación a favor de la rotación del disco. Se selecciona para la elaboración del modelo este último caso, por considerarse el más eficiente desde el punto de vista de lograr una mayor velocidad del lanzamiento de las partículas con la misma velocidad de rotación del disco. </p>
				<p>El análisis se realiza obteniendo la ecuación diferencial de la dinámica del movimiento de una partícula mediante la aplicación de las leyes de la mecánica clásica (2da. Ley de Newton). El análisis se efectúa sobre un sistema de referencia no inercial que, rota conjuntamente con el disco, por lo que es necesario tener en cuenta las fuerzas “ficticias” (fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis) que actúan sobre la partícula en este sistema móvil. La solución de la ecuación diferencial del movimiento se efectúa mediante métodos clásicos de análisis matemático.</p>
				<p>Las ecuaciones obtenidas de la solución de la ecuación diferencial del movimiento son programadas empleando el software Mathcad, versión 2000 Professional, lo cual posibilita evaluar el modelo con datos concretos y obtener como salida, la velocidad y ángulo de salida del fertilizante en función de parámetros de entrada tales como: el ángulo de inclinación de las paletas, el coeficiente de fricción entre el fertilizante y el material del disco y las paletas, las dimensiones y velocidad de rotación del disco y las coordenadas de la zona de caída del fertilizante desde la boca de la tolva.</p>
			</sec>
			<sec>
				<title>DESARROLLO</title>
				<p>En la <xref ref-type="fig" rid="f26">Fig. 2</xref> se muestra las fuerzas que actúan sobre una partícula de fertilizante en su interacción con el disco y las paletas del distribuidor centrífugo. </p>
				<p>
					<fig id="f26">
						<label>FIGURA 2</label>
						<caption>
							<title>Fuerzas que actúan sobre una partícula en el esparcidor centrífugo de disco con paletas.</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf26.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>Como se aprecia en la figura, sobre la partícula actúan las siguientes fuerzas:</p>
				<p><italic>mg</italic> - Peso de la partícula, que actúa perpendicularmente a la superficie del disco (Fig. 5.6a), igual al producto de la masa de la partícula (m) y la aceleración de la gravedad (g);</p>
				<p><italic>Fcf</italic> - Fuerza centrífuga, la cual está dirigida en la dirección y sentido del radio-vector <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mi>r</mml:mi>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
						</mml:math>
					</inline-formula> que sitúa la posición radial de la partícula con respecto al centro del disco. Esta fuerza se expresa como:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e29">
						<mml:math>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>F</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>×</mml:mo>
							<mml:mo>(</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>×</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>)</mml:mo>
						</mml:math>.<label>1</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>siendo su magnitud:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e30">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
						</mml:math>
						<label>2</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p><italic>Fco</italic> - Fuerza de Coriolis, dada por:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e31">
						<mml:math>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>F</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mover accent="true">
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ξ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>˙</mml:mo>
									</mml:mover>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>×</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
						</mml:math>.<label>3</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>siendo su dirección perpendicular a los vectores <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mover accent="true">
										<mml:mi>ξ</mml:mi>
										<mml:mo>˙</mml:mo>
									</mml:mover>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:mfrac>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mover accent="true">
											<mml:mi>ξ</mml:mi>
											<mml:mo>→</mml:mo>
										</mml:mover>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mi>t</mml:mi>
									</mml:mrow>
								</mml:mfrac>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (velocidad relativa de la partícula respecto a la paleta) y <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (velocidad angular del disco), su sentido es contrario a la velocidad de rotación del disco, mientras que su magnitud está dada por:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e32">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>˙</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math>
						<label>4</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p><italic>Fp</italic><sub><italic>cf</italic></sub> - Fuerza de fricción entre la paleta y la partícula producto de la fuerza centrífuga:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e33">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>p</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sin</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>.<label>5</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>donde <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> es el coeficiente de fricción por rozamiento entre la partícula y el material de la paleta; <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mi>ψ</mml:mi>
						</mml:math>
					</inline-formula> es el ángulo entre la dirección de la fuerza centrífuga y la dirección del movimiento relativo <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mi>ξ</mml:mi>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
						</mml:math>
					</inline-formula> de la partícula respecto a la paleta;</p>
				<p><italic>Fp</italic><sub><italic>co</italic></sub> - Fuerza de fricción entre la paleta y la partícula producto de la fuerza de Coriolis:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e34">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>p</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>˙</mml:mo>
							</mml:mover>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math>.<label>6</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p><italic>Fp</italic><sub><italic>g</italic></sub> - Fuerza de fricción entre el disco y la partícula:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e35">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>F</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>p</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>g</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>g</mml:mi>
						</mml:math>.<label>7</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Por lo general el material del disco es el mismo de las paletas, en cuyo caso el coeficiente de fricción entre el disco y la partícula <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>f</mml:mi>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mo> </mml:mo>
									</mml:mrow>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>=<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mo> </mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> .</p>
				<p>Planteando la 2da. Ley de Newton en el sistema no inercial se obtiene la ecuación diferencial del movimiento de la partícula en la dirección de la paleta:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e36">
						<mml:math>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mi>g</mml:mi>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sin</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>m</mml:mi>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>t</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
						</mml:math>.<label>8</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>De la <xref ref-type="fig" rid="f26">Fig. 2 b)</xref> se aprecia que:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e37">
						<mml:math>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mo>(</mml:mo>
									<mml:mi>π</mml:mi>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ψ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>)</mml:mo>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>.<label>9</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>donde: <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
						</mml:math>
					</inline-formula> - trayecto recorrido por la partícula a lo largo de la paleta, medido desde el inicio de ésta;</p>
				<p><italic>r</italic><sub><italic>o</italic> 
</sub> - radio vector inicial, dirigido desde el centro del disco hasta el comienzo de la paleta;</p>
				<p>
					<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> - valor inicial del ángulo <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mi>ψ</mml:mi>
						</mml:math>
					</inline-formula> entre el radiovector <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mover accent="true">
								<mml:mi>r</mml:mi>
								<mml:mo>→</mml:mo>
							</mml:mover>
						</mml:math>
					</inline-formula> y la paleta.</p>
				<p>Asimismo es posible plantear que:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e38">
						<mml:math>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sen</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">sen</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mo>(</mml:mo>
									<mml:mi>π</mml:mi>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ψ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>)</mml:mo>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>c</mml:mi>
							<mml:mi>t</mml:mi>
							<mml:mi>e</mml:mi>
							<mml:mo>.</mml:mo>
						</mml:math>.<label>10</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Por otro lado, el coeficiente de fricción <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> puede expresarse indistintamente como ángulo de fricción <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ϕ</mml:mi>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> mediante la relación:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e39">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">tan</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ϕ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>.<label>11</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Sustituyendo <xref ref-type="disp-formula" rid="e37">9</xref>, <xref ref-type="disp-formula" rid="e38">10</xref> y <xref ref-type="disp-formula" rid="e39">11</xref> en <xref ref-type="disp-formula" rid="e36">8</xref> y efectuando algunas transformaciones se arriba a la siguiente expresión para la ecuación diferencial del movimiento relativo de la partícula sobre el disco:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e40">
						<mml:math>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>t</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mo>+</mml:mo>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>⁡</mml:mo>
										<mml:mrow>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:mi>π</mml:mi>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>o</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:mi> </mml:mi>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mrow>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ϕ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>g</mml:mi>
						</mml:math>.<label>12</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>que es una ecuación diferencial ordinaria de 2do orden, lineal y no homogénea con coeficientes constantes, cuya solución general puede ser determinada como la suma de la solución de la ecuación homogénea y la solución particular de la ecuación no homogénea.</p>
				<p>
					<disp-formula id="e41">
						<mml:math>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>h</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math>.<label>13</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>La parte homogénea de esta ecuación se expresa como:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e42">
						<mml:math>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>t</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>ω</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>d</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>0</mml:mn>
						</mml:math>
						<label>14</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>teniendo la solución general la forma:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e43">
						<mml:math>
							<mml:mi> </mml:mi>
							<mml:mi> </mml:mi>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>h</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
						</mml:math> .<label>15</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>siendo <italic>C</italic><sub><italic>1</italic> 
</sub> y <italic>C</italic><sub><italic>2</italic> 
</sub> las constantes de integración, mientras que λ<sub>1</sub> y λ<sub>2</sub> son las raíces de la ecuación característica: </p>
				<p>
					<disp-formula id="e44">
						<mml:math>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>λ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:mn>2</mml:mn>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>μ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>f</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mi>λ</mml:mi>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mn>0</mml:mn>
						</mml:math>.<label>16</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>
					<disp-formula id="e45">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>λ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfenced separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>+</mml:mo>
									<mml:msqrt>
										<mml:mn>1</mml:mn>
										<mml:mo>+</mml:mo>
										<mml:msup>
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>μ</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>f</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
											</mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mn>2</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msup>
									</mml:msqrt>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math>
						<label>17</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>
					<disp-formula id="e46">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>λ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mfenced separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>+</mml:mo>
									<mml:msqrt>
										<mml:mn>1</mml:mn>
										<mml:mo>+</mml:mo>
										<mml:msup>
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>μ</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>f</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
											</mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mn>2</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msup>
									</mml:msqrt>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math>.<label>18</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Una solución particular para la <xref ref-type="disp-formula" rid="e40">ecuación no homogénea 12</xref> puede ser determinada aplicando el método de la constante indeterminada: </p>
				<p>
					<disp-formula id="e47">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mi>C</mml:mi>
						</mml:math>.<label>19</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Diferenciando <xref ref-type="disp-formula" rid="e47">19</xref> y sustituyendo en la <xref ref-type="disp-formula" rid="e40">ecuación 12</xref> se obtiene la siguiente solución particular de la ecuación diferencial no homogénea:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e48">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>⁡</mml:mo>
										<mml:mrow>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:mi>π</mml:mi>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>o</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mrow>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ϕ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:mi>g</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
						</mml:math>
						<label>20</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Sustituyendo <xref ref-type="disp-formula" rid="e40">15</xref> y <xref ref-type="disp-formula" rid="e48">20</xref> en <xref ref-type="disp-formula" rid="e41">13</xref>, la solución de la <xref ref-type="disp-formula" rid="e40">ecuación diferencial 12</xref> toma la siguiente forma:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e49">
						<mml:math>
							<mml:mi> </mml:mi>
							<mml:mi> </mml:mi>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>C</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:msup>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>λ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msup>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>∙</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mo>⁡</mml:mo>
										<mml:mrow>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:mi>π</mml:mi>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>o</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mo>-</mml:mo>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mrow>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>c</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ϕ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>g</mml:mi>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>μ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>f</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>2</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
						</mml:math>
						<label>21</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Finalmente se evalúa la ecuación 5.25 para las condiciones iniciales, correspondiente a la posición de comienzo de las paletas, donde para t = 0; <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mi>ξ</mml:mi>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:mn>0</mml:mn>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> y la velocidad de las partículas <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mfrac>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mi>ξ</mml:mi>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>d</mml:mi>
										<mml:mi>t</mml:mi>
									</mml:mrow>
								</mml:mfrac>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:mn>0</mml:mn>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>. De esta manera se obtiene finalmente la solución de la ecuación diferencial del movimiento de la partícula:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e50">
						<mml:math>
							<mml:mi>ξ</mml:mi>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>g</mml:mi>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>μ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ω</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>d</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>r</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mfenced separators="|">
														<mml:mrow>
															<mml:mi>π</mml:mi>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ψ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>o</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ϕ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>f</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
														</mml:mrow>
													</mml:mfenced>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
											<mml:mi>s</mml:mi>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>1</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>2</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math>
						<label>22</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Una gráfica de esta expresión, evaluada para determinadas condiciones, se muestra en la Fig. 5.7, apreciándose que el tiempo de permanencia de las partículas sobre el disco es del orden de las centésimas de segundo.</p>
				<p>
					<fig id="f27">
						<label>FIGUERA 3</label>
						<caption>
							<title>Variación en función del tiempo del desplazamiento relativo de las partículas a lo largo de un disco con paletas adelantadas que rota a 800 r.p.m.</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf27.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>Derivando la <xref ref-type="disp-formula" rid="e50">expresión 22</xref> con respecto al tiempo, se obtiene la velocidad relativa de las partículas a lo largo de las paletas del distribuidor:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e51">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>v</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mfrac>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>ξ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:mfrac>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>g</mml:mi>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>μ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>f</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ω</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>d</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mi> </mml:mi>
									<mml:mo>-</mml:mo>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>r</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>o</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>∙</mml:mo>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mfenced separators="|">
														<mml:mrow>
															<mml:mi>π</mml:mi>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ψ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>o</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
															<mml:mo>-</mml:mo>
															<mml:msub>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>ϕ</mml:mi>
																</mml:mrow>
																<mml:mrow>
																	<mml:mi>f</mml:mi>
																</mml:mrow>
															</mml:msub>
														</mml:mrow>
													</mml:mfenced>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>c</mml:mi>
											<mml:mi>o</mml:mi>
											<mml:mi>s</mml:mi>
											<mml:mfenced separators="|">
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ϕ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>f</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mfenced>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
							<mml:mfenced close="]" open="[" separators="|">
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>λ</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
									<mml:mfenced separators="|">
										<mml:mrow>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>1</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:msup>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>λ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mn>2</mml:mn>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
													<mml:mi>t</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msup>
										</mml:mrow>
									</mml:mfenced>
								</mml:mrow>
							</mml:mfenced>
						</mml:math>.<label>23</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>La magnitud del radiovector que une el centro del disco con la posición instantánea de las partículas, se determina como sigue:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e52">
						<mml:math>
							<mml:mi>r</mml:mi>
							<mml:mo>(</mml:mo>
							<mml:mi>t</mml:mi>
							<mml:mo>)</mml:mo>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msqrt>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>ξ</mml:mi>
														<mml:mo>+</mml:mo>
														<mml:mi>r</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>o</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
												<mml:mo>∙</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mo>⁡</mml:mo>
													<mml:mrow>
														<mml:msub>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>ψ</mml:mi>
															</mml:mrow>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>o</mml:mi>
															</mml:mrow>
														</mml:msub>
													</mml:mrow>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
								<mml:mo>+</mml:mo>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>r</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>o</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
												<mml:mo>∙</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi mathvariant="normal">sen</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mo>⁡</mml:mo>
													<mml:mrow>
														<mml:msub>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>ψ</mml:mi>
															</mml:mrow>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>o</mml:mi>
															</mml:mrow>
														</mml:msub>
													</mml:mrow>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
							</mml:msqrt>
						</mml:math>.<label>24</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Sustituyendo la <xref ref-type="disp-formula" rid="e50">expresión 22</xref> de <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mi>ξ</mml:mi>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:mi>f</mml:mi>
								<mml:mrow>
									<mml:mo>(</mml:mo>
									<mml:mi>t</mml:mi>
									<mml:mo>)</mml:mo>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> en la expresión 24 y evaluando para la máxima magnitud del radiovector <italic>r</italic><sub><italic>e</italic></sub> (radio exterior del disco), es posible obtener el tiempo de permanencia (<italic>t</italic><sub><italic>p</italic></sub>) de las partículas en el disco, desde que es alimentado (posición <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>r</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>,<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mo> </mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>) hasta que alcanza el borde exterior del disco (posición <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>r</mml:mi>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>,<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mo> </mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>). </p>
				<p>En ese tiempo, el disco habrá girado un ángulo <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
									<mml:mi>a</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:msub>
									<mml:mi>t</mml:mi>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> y además la partícula habrá recorrido un ángulo en su movimiento relativo: <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
									<mml:mi>r</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>−</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> de manera tal que el ángulo de salida de las partículas estará dado por:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e53">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>θ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>s</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>=</mml:mo>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>t</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>p</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mo>(</mml:mo>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>o</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>ψ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>)</mml:mo>
						</mml:math>
						<label>25</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>Evaluando estas expresiones para los puntos de alimentación 1 y 2 (<xref ref-type="fig" rid="f28">Fig. 4</xref>) que forman una franja <italic>bf</italic> al inicio de la paleta, es posible obtener los ángulos (<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>s</mml:mi>
										<mml:mn>1</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msub>
								<mml:mo> </mml:mo>
								<mml:mi>y</mml:mi>
								<mml:mo> </mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
									<mml:mrow>
										<mml:mi>s</mml:mi>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msub>
								<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> que definen los puntos de salida del fertilizante en el borde del disco, estando delimitado el abanico de salida por los vectores <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mrow>
												<mml:mi>a</mml:mi>
												<mml:mi>b</mml:mi>
											</mml:mrow>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> que corresponden a las velocidades absolutas de salida del fertilizante, las cuales se determinan por la suma vectorial de la velocidad de arrastre <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mi>a</mml:mi>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (tangente al borde exterior del disco) y la velocidad relativa <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mi>r</mml:mi>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> de las partículas, cuya dirección es colineal con la dirección de las paletas.</p>
				<p>
					<fig id="f28">
						<label>FIGURA 4</label>
						<caption>
							<title>Condiciones de salida del fertilizante en el disco centrífugo.</title>
						</caption>
						<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf28.svg"/>
					</fig>
				</p>
				<p>El módulo de la velocidad absoluta se determina por la expresión:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e54">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>v</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>a</mml:mi>
									<mml:mi>b</mml:mi>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:msqrt>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>v</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>a</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
								<mml:mo>+</mml:mo>
								<mml:msup>
									<mml:mrow>
										<mml:mfenced separators="|">
											<mml:mrow>
												<mml:msub>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>v</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi>r</mml:mi>
													</mml:mrow>
												</mml:msub>
												<mml:mo>∙</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:mrow>
														<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
													</mml:mrow>
													<mml:mo>⁡</mml:mo>
													<mml:mrow>
														<mml:msub>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>ψ</mml:mi>
															</mml:mrow>
															<mml:mrow>
																<mml:mi>e</mml:mi>
															</mml:mrow>
														</mml:msub>
													</mml:mrow>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mfenced>
									</mml:mrow>
									<mml:mrow>
										<mml:mn>2</mml:mn>
									</mml:mrow>
								</mml:msup>
							</mml:msqrt>
						</mml:math>.<label>26</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>La velocidad de arrastre <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>v</mml:mi>
									<mml:mi>a</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo>=</mml:mo>
								<mml:msub>
									<mml:mi>ω</mml:mi>
									<mml:mi>d</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:msub>
									<mml:mi>r</mml:mi>
									<mml:mi>e</mml:mi>
								</mml:msub>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> , mientras que la velocidad relativa se determina por la <xref ref-type="disp-formula" rid="e51">expresión 23</xref>.</p>
				<p>El abanico de dispersión del fertilizante (<inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:msub>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
									<mml:mi>s</mml:mi>
								</mml:msub>
								<mml:mo stretchy="false">)</mml:mo>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula>, estará limitado por las direcciones de <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mrow>
												<mml:mi>a</mml:mi>
												<mml:mi>b</mml:mi>
												<mml:mn>1</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> y <inline-formula>
						<mml:math>
							<mml:mrow>
								<mml:mover accent="true">
									<mml:mrow>
										<mml:msub>
											<mml:mi>v</mml:mi>
											<mml:mrow>
												<mml:mi>a</mml:mi>
												<mml:mi>b</mml:mi>
												<mml:mn>2</mml:mn>
											</mml:mrow>
										</mml:msub>
									</mml:mrow>
									<mml:mo stretchy="true">→</mml:mo>
								</mml:mover>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
					</inline-formula> (<xref ref-type="fig" rid="f28">Fig. 4</xref>), determinándose mediante la expresión:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e55">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:msub>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>θ</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mi>s</mml:mi>
										</mml:mrow>
									</mml:msub>
									<mml:mo>=</mml:mo>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>θ</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>s</mml:mi>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>-</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>+</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi>α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
						</mml:math>.<label>27</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>donde:</p>
				<p>
					<disp-formula id="e56">
						<mml:math>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>1</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">tan</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>v</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
													<mml:mn>1</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>e</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
							<mml:mo>;</mml:mo>
							<mml:msub>
								<mml:mrow>
									<mml:mi mathvariant="normal">α</mml:mi>
								</mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:mn>2</mml:mn>
								</mml:mrow>
							</mml:msub>
							<mml:mo>=</mml:mo>
							<mml:mrow>
								<mml:mrow>
									<mml:msup>
										<mml:mrow>
											<mml:mi mathvariant="normal">tan</mml:mi>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:mo>-</mml:mo>
											<mml:mn>1</mml:mn>
										</mml:mrow>
									</mml:msup>
								</mml:mrow>
								<mml:mo>⁡</mml:mo>
								<mml:mrow>
									<mml:mfrac>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>ω</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>d</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>e</mml:mi>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
										</mml:mrow>
										<mml:mrow>
											<mml:msub>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>v</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi>r</mml:mi>
													<mml:mn>2</mml:mn>
												</mml:mrow>
											</mml:msub>
											<mml:mo>∙</mml:mo>
											<mml:mrow>
												<mml:mrow>
													<mml:mi mathvariant="normal">cos</mml:mi>
												</mml:mrow>
												<mml:mo>⁡</mml:mo>
												<mml:mrow>
													<mml:msub>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>ψ</mml:mi>
														</mml:mrow>
														<mml:mrow>
															<mml:mi>e</mml:mi>
														</mml:mrow>
													</mml:msub>
												</mml:mrow>
											</mml:mrow>
										</mml:mrow>
									</mml:mfrac>
								</mml:mrow>
							</mml:mrow>
						</mml:math>
						<label>28</label>
					</disp-formula>
				</p>
				<p>La programación en Mathcad de las ecuaciones obtenidas se muestra a través de un ejercicio que se expone a continuación, mostrándose las capturas de pantalla de la corrida del programa que ha sido denominado “CENTRIFERT”:</p>
				<sec>
					<title>Ejercicio demostrativo:</title>
					<p>Determine la zona (<italic>bf</italic>) de colocación del fertilizante sobre un disco centrífugo con paletas adelantadas, de manera de obtener un abanico de dispersión de 90<sup>o</sup> ± 2<sup>o</sup> en dirección opuesta al avance de la máquina. Se conocen los siguientes datos:</p>
					<p>
						<list list-type="bullet">
							<list-item>
								<p>Velocidad de rotación del disco: n<sub>d</sub> = 540 r.p.m.;</p>
							</list-item>
							<list-item>
								<p>Radio exterior del disco: r<sub>e</sub> = 25 cm;</p>
							</list-item>
							<list-item>
								<p>Ángulo de la paleta con el radio-vector final: ψ<sub>e</sub> = 20<sup>o</sup>;</p>
							</list-item>
							<list-item>
								<p>Coeficiente de fricción del fertilizante sobre el material de la paleta y el disco: m<sub><italic>f</italic></sub> = 0.6</p>
							</list-item>
						</list>
					</p>
				</sec>
				<sec>
					<title>Solución del ejercicio empleando el programa “CENTRIFERT”:</title>
					<p>
						<fig id="f29">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf29.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f30">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf30.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f31">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf31.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f32">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf32.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f33">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf33.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f34">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf34.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f35">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf35.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f36">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf36.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f37">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf37.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f38">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf38.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f39">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf39.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f40">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf40.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f41">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf41.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f42">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf42.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f43">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf43.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f44">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf44.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f45">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf45.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f46">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf46.svg"/>
						</fig>
					</p>
					<p>
						<fig id="f47">
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf47.svg"/>
						</fig>
					</p>
				</sec>
				<sec>
					<title>COMENTARIO SOBRE LA CORRIDA DEL PROGRAMA:</title>
					<p>Como se aprecia de la corrida del programa, se obtienen en forma gráfica (gráficos en coordenadas polares) los ángulos correspondientes a los puntos de salida del fertilizante en las posiciones extremas 1 y 2 correspondientes a la banda de posicionamiento del fertilizante bf = 7.945 cm. Ahora bien, como se ha explicado, la banda de aplicación o lanzamiento del fertilizante (zona sombreada en la <xref ref-type="fig" rid="f48">Fig. 5</xref>) estará enmarcada por las direcciones de las velocidades absolutas (<italic>Vab</italic><sub><italic>1</italic></sub> y <italic>Vab</italic><sub><italic>2</italic></sub>), que han sido determinadas sobre la base de los valores de las velocidades relativas (<italic>Vr</italic><sub><italic>1</italic></sub> <italic>y Vr</italic><sub><italic>2</italic></sub>) y la velocidad de arrastre <italic>Va</italic>. En la <xref ref-type="fig" rid="f48">Fig. 5</xref>, el ángulo β<sub>o1</sub> ha sido retradado 90<sup>o</sup> aprosimadamente, para lograr que el abanico de lanzamiento del fertilizante esté situado en dirección contraria a la del movimiento de la máquina.</p>
					<p>
						<fig id="f48">
							<label>FIGURA 5</label>
							<caption>
								<title>Construcción del diapazón de lanzamiento del fertilizante </title>
							</caption>
							<graphic xlink:href="2071-0054-rcta-30-01-e08-gf48.svg"/>
						</fig>
					</p>
				</sec>
			</sec>
			<sec sec-type="conclusions">
				<title>CONCLUSIONES</title>
				<p>
					<list list-type="bullet">
						<list-item>
							<p>Se obtiene un modelo analítico que describe el movimento de partículas sobre un disco esparcidor de fertilizantes del tipo centrífugos con paletas rectas inclinadas con relación a la dirección radial;</p>
						</list-item>
						<list-item>
							<p>Como resultado de la programación en Mathcad del modelo se viabiliza el cálculo de los paràmetros de salida del fertilizante (velocidad de salida y ángulo de dispersión) en función de parámetros de entrada tales como: el ángulo de inclinación de las paletas, el coeficiente de fricción entre el fertilizante y el material del disco y las paletas, las dimensiones y velocidad de rotación del disco y las coordenadas de la zona de caída del fertilizante desde la boca de la tolva;</p>
						</list-item>
						<list-item>
							<p>Como resultado de la ejecución de un ejercicio demostrativo, aplicando el programa “CENTRIFERT”, se obtiene un ángulo de dispersión de las partículas θ<sub>s</sub> ≈ 90°. El ancho de la banda de alimentación del fertilizante en el disco resultó bf≈7.5 cm.</p>
						</list-item>
					</list>
				</p>
			</sec>
		</body>
	</sub-article>
</article>