Method applied for the development of the calculation models

To develop the calculation models for the design and operating parameters of the forage mills under study, the conceptual modeling method was used, specifically mechanical-mathematical modeling, based on the application of the laws of mechanics to the interaction processes between the mill's working parts and the processed plant material.

This modeling method, unlike empirical modeling, is deterministic, meaning that for the same input variables, the same output variables are always obtained, without uncertainty (Martínez, 2007MARTÍNEZ, R.A.: Contribución a la Modelación Matemática Racional Dirigida al Cálculo de Parámetros en Procesos de Aplicación en la Agricultura, [en línea], Universidad Agraria de La Habana (UNAH), Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias de Segundo Grado (Dr.Cs.), La Habana, Cuba, 2007, Disponible en: https://evea.unah.edu.cu. ).

The aspects modeled to determine the design and operating parameters were:

To model the suction process of the plant material by the mill's cutting element, the interaction forces generated between the cutting blades, the plant material, and the die are analyzed. This is done by summing forces in the plane perpendicular to the cutting plane and adjusting the parameters so that the resultant of the horizontal component of the force exerted by the blades on the plant material overcomes the frictional force between the plant material and the die. The expressions that allow us to determine the speed imparted by the suction effect to the processed material, upon which the particle size and process productivity depend, are obtained by applying the work-energy principle to the interaction process of the blades with the plant material.

The load-to-throughput ratio of the mill is one of the fundamental aspects during the calculation of any working element that performs a given technological process. Generally, the analysis of the load-capacity relationship yields functions that allow us to relate the different parameters involved in a given technological process, with a view to establishing the appropriate operating regime for the working components of the machines that carry out said process.

In the case at hand, the load is determined based on the daily forage consumption required by the livestock to be fed on the farm and the working time allocated to its processing, while the capacity is determined based on the kinematic and structural parameters of the mill, depending also on certain physical and mechanical properties of the processed material and the particle size to be obtained as a result of its processing.

Finally, to ensure an accurate calculation of the mill parameters, the load q (kg/s) and the throughput qo (kg/s) are matched to prevent blockages and guarantee efficient operation of the equipment. The modeling process began with an analysis of previously developed models based on the processing of thick stems Martínez & Valdés (2004)MARTÍNEZ, R.A.; VALDÉS, H.P.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4), 2004, ISSN: 2071-0054.; Valdés et al. (2010)VALDÉS, P.A.; MARTÍNEZ, A.; VALENCIA, Y.; BRITO, E.: “Influencia del momento de inercia del tambor y de diferentes ángulos de alimentación constantes sobre el calibre de las partículas de forraje procesado con picadores del tipo de tambor con alimentación manual. Parte I”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 19(3): 53-56, 2010, ISSN: 2071-0054., adapting them for the processing of mixed plant material, such as moringa.

Materials and methods used to determine the properties of moringa

Various properties of the forage plant material, related to its interaction with the working parts of the mills, constitute input parameters in the calculation models under study. These properties include: the loading area, the coefficient or angle of friction of the processed material with the metal, generally steel; the density of the processed mass, both in its initial and compacted form; and the specific cutting energy. In this work, the following were experimentally determined:

The dynamic friction angle and specific cutting energy were determined through calculations based on experimental data from other authors.

Loading area

The loading area ( Fc , m²) is defined as the cross-sectional area of the plant mass that the blades encounter during each cutting action (Martínez, 2019MARTÍNEZ, R.A.: Libro de Texto Complementario: Cálculo de Parámetros en Máquinas Agrícolas Asistido por Computadora, [en línea], Ed. Entorno Virtual de Enseñanza-Aprendizaje (EVEA). Universidad Agraria de La Habana, vol. II Capitulo, San Jose de las Lajas Mayabeque, CUBA, 65-66 p., 2019, Disponible en: https://evea.unah.edu.cu. ). Depending on the type of plant mass being processed and the type of mill, the loading area is determined in three different ways:

where:

d- is the average outer diameter of the processed stems, m

c- is the number of stems fed simultaneously.

where:

$a$ - is the clearance (a) between the rollers, m

$\mathcal{l}$ is the effective length or width of the feed throat, m

ε is a filling coefficient

In these cases, the determination of the loading area must be approached experimentally, since the fed material is pre-compacted by the blades until the level of compaction generates the resistance required for cutting to occur. This method of determination is applied in this work for the case of moringa.

For the experimental determination of the loading area during the blade-vegetable mass interaction, an installation was prepared (Figure 4) consisting of a drum mill from which the outer casing, the feed ramp and the blowing system of the crushed particles were removed, in order to have free access to the cutting zone.

A lever (2, Figure 4), made of rectangular steel tubing, was fitted with a clamp (1) for coupling to the pulley concentric with the drum shaft. This allowed for different values of the moment M=P∙b to be obtained by attaching a calibrated weight (3) that could be slid along the lever. A sample of plant material was placed between the feed throat's pressure plate and the blade closest to it. The samples were prepared beforehand (Figure 5) to fill the feed space and have a uniform length and weight, while their uncompacted cross-sectional dimensions were adapted to the distance between the pressure plate and the blade.

Starting from this situation, the weight is moved away, increasing the arm b until the moment when the cutting of the portion of plant material was imminent. At that moment, the arm (2) was fixed and the measurements h₁, h₂, and b_s shown in figure 3 were taken with a graduated ruler with a smallest division of 1 mm. With this data, the loading area (F _sra ) corresponding to a manual feeding system without feed rollers was calculated by the expression:

The sample size (nm) was calculated (with the data resulting from a pre-experiment carried out with 10 samples) for a significance level of 0.05 and a mean error of 10%, according to the expression based on the Student's t-distribution:

Where:

σ: mean square deviation,

t: Student's t-test criterion

Δ: expected mean error.

The calculation, performed with the data obtained from the previous pre-experiment, yielded a sample size n _m = 12.19, with a total of 15 samples processed.

Density of the processed mass

The volumetric density of the moringa bundles to be processed was determined under two conditions:

To determine γ _d , the samples prepared in bundles (Figure 5) were weighed using a digital balance with a precision of up to 0.1 g.

Under both conditions, density was determined by dividing the sample mass by its volume. In the case of uncompacted samples, the volume was determined by measuring the perimeter of the uncompressed bundle with a cloth tape measure (with a minimum division of 1 mm) and calculating the cross-sectional area of each sample. Multiplying this area by the average length of each bundle yielded its volume.

In the case of determining the compacted density, the cross-sectional area of the bulk corresponded to the load area F _sra determined by expression 3 $F_{sra}=b_s\bullet \frac{h_1+h_2}{2}$ .

The sample size calculation for this determination was performed using the same procedure employed for determining the load area, applying expression 4 $n_m=\frac{{\sigma }^2\bullet t^{2 }}{{∆}^2}$ for a significance level of 0.05 and a mean error of 10%, resulting in n _m = 9. However, the same 15 samples were processed.

Friction angle

The friction angle of the plant mass with the bearing material was determined by measuring the static friction angle using an inclined plane with a variable angle. A steel surface of the same material and finish as the bearing material was placed on the inclined plane. The angle of imminent slippage was measured with a graduated protractor with a minimum division of 1°. The sample size, determined by expression 4 $n_m=\frac{{\sigma }^2\bullet t^{2 }}{{∆}^2}$ , resulted in n _m = 14, for a significance level of 0.05 and a mean error of 5%, taking a sample size of n _m = 20.

Starting from the determination of the static friction angle, the dynamic friction angle is determined by applying the trend in the difference between these two parameters for the case of interaction of plant mass with steel, determined Rieznik (1964)RIEZNIK, N.: “Combinadas Silo cosechadoras, Teoría y Cálculo”, Editorial MIR-Moscú.(en ruso), 1964., as well as by Valdés et al. (2010)VALDÉS, P.A.; MARTÍNEZ, A.; VALENCIA, Y.; BRITO, E.: “Influencia del momento de inercia del tambor y de diferentes ángulos de alimentación constantes sobre el calibre de las partículas de forraje procesado con picadores del tipo de tambor con alimentación manual. Parte I”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 19(3): 53-56, 2010, ISSN: 2071-0054., being able to arrive at the following relationship rϕ between the static (ϕe) and dynamic (ϕd) friction angle:

In this investigation, a mean value is applied to this interval, resulting in the following relationship:

Specific cutting energy

The Specific Cutting Energy (Ae) is not determined for moringa, so its value is estimated using experimental results reported by Rieznik (1964)RIEZNIK, N.: “Combinadas Silo cosechadoras, Teoría y Cálculo”, Editorial MIR-Moscú.(en ruso), 1964. for forage plant stems between 3 and 15 mm thick, obtained at cutting speeds up to 25 m/s with standardized blades. These results reported values for this property ranging from 0.6 x 10⁴ to 2.4 x 10⁴ N·m/m², with the lower values corresponding to the higher cutting speeds.

Method Applied for Evaluating the Developed Models

To facilitate the evaluation of the models developed for calculating the mill's load-capacity relationships and the suction conditions of the plant material during its interaction with the cutting blades, the expressions derived from the modeling were programmed using Mathcad 2000 Professional software. In this way, by inputting the parameters or properties that constitute the models' inputs variables into the developed programs, the parameters to be determined are obtained as outputs in an expedited manner.

Method applied for the statistical analysis of experimental results

The results of the experimental runs carried out to determine the loading area, the density of the compacted mass, and the angle of friction were statistically analyzed. For all the samples measured in each case, the mean value, the root mean square deviation, and the mean error were determined at a significance level of 0.05.

Modeling the Suction Process of Plant Mass

Controlling the suction of plant mass in manually fed forage mills is of paramount importance in obtaining a controlled and uniform size of the shredded particles (Martínez et al., 2004aMARTÍNEZ, A.; VALDÉS, P.; DÍAZ, J.; MATURELL, Y.; VEGA, D.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en los molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4): 1-10, 2004a, ISSN: 1010-2760.; Martínez, 2019MARTÍNEZ, R.A.: Libro de Texto Complementario: Cálculo de Parámetros en Máquinas Agrícolas Asistido por Computadora, [en línea], Ed. Entorno Virtual de Enseñanza-Aprendizaje (EVEA). Universidad Agraria de La Habana, vol. II Capitulo, San Jose de las Lajas Mayabeque, CUBA, 65-66 p., 2019, Disponible en: https://evea.unah.edu.cu. ).

A model Martínez & Valdés (2004)MARTÍNEZ, R.A.; VALDÉS, H.P.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4), 2004, ISSN: 2071-0054. that satisfactorily clarifies which parameters influence material suction, allowing for its control to obtain adequate sizes of shredded particles and specifically designed for processing thick stems, is adapted in this work for application during the processing of a mixture of plant mass composed of stems, branches, and leaves, such as moringa.

The fundamental objective of this model is to determine the parameters that influence the suction of the self-feeding material by the shredding element of forage mills and to establish the corresponding expressions that allow for the calculation of these parameters.

The analysis is based on the hypothesis that, in the cutting process, there must be a component of the interaction force between the blades and the plant material, in the direction of the material feed to the cutting element, capable of "dragging" the fed material at an average speed that ensures the flow corresponding to the capacity of the cutting element. A second hypothesis is that the work done by this component of the cutting force in the feed direction is used to provide a certain amount of kinetic energy to the fed material, which will acquire a given speed in the feed direction, ultimately causing the suction effect.

Figure 6 shows the interaction of the cutting element with the plant material in the plane perpendicular to the cutting plane. Note that, to be consistent with the first hypothesis, an eccentricity (e) of the rotor's axis of rotation with respect to the feed line (x-axis) has been assumed in the case of the drum element.

Under these conditions, the shear force (P _cor ) is decomposed into a vertical component (P _cor .cos α) that is used in the actual cutting action and a horizontal component (P _cor .sin α) that is used in the pulling of the plant material. The normal (N) and horizontal (friction force F) components of the reaction force of the die also act on the free body of the fed material. The effect of the weight of the material fraction in the cutting zone is neglected in the model.

The first condition for material suction must be met:

where F_max: maximum friction force, N.

where φ is the angle of friction between the plant mass and the bearing material.

The angle of friction should preferably be considered dynamic (Ϫd), given the dynamic nature of the interaction between the bearing and the plant mass when it is struck and dragged by the blades.

Since:

Then, substituting 8 $F_{max}=N\bullet \tan \phi ,\mathrm{ }\mathrm{N}$ and 9 ${N=P}_{cor}\bullet \cos \alpha ,\mathrm{ }\mathrm{N}$ into 7 $P_{cor}\bullet \sin \alpha >F_{max},\mathrm{ }\mathrm{N}$ , we obtain:

This means that, as a first condition for the possibility of suction of the plant material by the cutting element, the angle α between the direction of the cutting force and the perpendicular to the plane of the cutting edge must be greater than the angle of friction between the plant material and the cutting edge material.

This condition is necessary but not sufficient, since for the movement of the plant material to occur in the direction of the feed, it must acquire a velocity in that direction, and this velocity must correspond to the design flow rate (throughput capacity, qo) of the mill, as well as guarantee the desired particle size (ΔL).

Applying the principle of work and energy, it can be stated according to Martínez et al. (2004a)MARTÍNEZ, A.; VALDÉS, P.; DÍAZ, J.; MATURELL, Y.; VEGA, D.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en los molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4): 1-10, 2004a, ISSN: 1010-2760. that the work of the horizontal component of the resultant of the forces is used to provide kinetic energy to the fed mass, with a part of the energy also being dissipated by the effect of friction, that is:

where m: average mass of the material fed, kg.

This value of the feed mass can be determined as:

where Lt is the length of the clump of stalks fed, m.

The loading area F _sra corresponds to a manual feeding system without feed rollers and is determined experimentally, evaluated according to expression 3 $F_{sra}=b_s\bullet \frac{h_1+h_2}{2}$ , while the density of the compacted mass γ _c is also determined experimentally within the framework of this work.

Returning to expression 11 ${(P}_{cor}\bullet \sin \alpha -F_{max})\bullet ∆L=\frac{1}{2}m{\left(V_{al}\right)}^2$ , the size of the shredded particles (ΔL) and the average velocity of the fed mass (V _al ), corresponding to a flow rate qo (kg/s) equal to the mill's throughput, are related according to the expression;

The average speed that the fed mass must have is also determined based on the material flow rate, as follows:

On the other hand, regarding the vertical axis, it can be stated that:

Therefore, the shear force can be determined as:

where:

Ae: the specific cutting energy of the processed product, N·m/m2

Δs: the displacement of the cutting force during contact of the blade edge with the fed mass, m

Solving for α the system of equations 9 ${N=P}_{cor}\bullet \cos \alpha ,\mathrm{ }\mathrm{N}$ to 16 $P_{cor}=\frac{F_{sra}\bullet A_e}{∆s\bullet \cos \alpha },\mathrm{ }\mathrm{N}$ , we obtain:

Equation 17 $\alpha ={\mathit{tg}}^{-1}\left[tg {\phi }_d+\frac{L\bullet {q_o}^2\bullet ∆s}{4\bullet A_{e\bullet }{{F_{c }}^2\bullet \gamma }_c\bullet ∆L}\right],\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ allows us to determine the angle α that guarantees an average suction velocity corresponding to the flow rate q _o (kg/s), while also ensuring the desired average particle size ΔL for the shredded particles. The value of α depends on the physical and mechanical properties of the feed mass, such as Ae and γc, and the length of the clump of stalks being fed, as well as the loading area F _sra.

The displacement of the cutting force (Δs) during the cutting process can be approximately determined by the average of the extreme travels of the blade (h₁ and h₂, Fig. 3), that is:

egarding the flow rate (q _o ) of the material processed by the machine, its determination will be addressed below.

Modeling for calculating the load-capacity relationship

In the case of feed mills for animal feed, the load calculation is based on the mass of material processed (G, kg/day) consumed daily in a livestock facility:

Where: Q: the number of animals to be fed; g: the daily consumption of each animal, in kg/day.

If T (h/day) is defined as the daily operating time of the shredding machine, during which the feed required for one day must be processed, then the load q (kg/s) of the working element will be given by:

on the other hand, the throughput q_o (kg/s) of the shredding element will depend on a set of construction and operating parameters of the mill, as well as the properties of the plant material and the required particle size of the processed product, such as:

The volume of stems V _n (m³/rev) cut in one revolution of the cutting organ will be given by:

Then the volume processed per unit of time Vt (m³/s) will be:

and the mass of stems that can be processed per unit of time by the working organ (throughput capacity) will be given by:

As is well known, during the calculation of parameters for forage shredding machines, as with other working components of harvesting or processing machines, the match between the loading capacity (q) and the throughput (q _o ) must be ensured to prevent blockages and guarantee efficient equipment operation.

Results of the experimental determination of moringa properties

Table 1 shows the statistical data obtained during the experimental determination of the loading area (Fsra) of moringa plant material during its processing in a drum mill without forced feeding.

It can be seen that the mean value of the loading area reached 105.02 cm² with a mean square deviation of 20.96 cm², resulting in a mean error of 9.5 cm², with a significance level of 0.05.

The results of the volumetric density determination of moringa, both in its natural state at the beginning of the feeding process and after compaction by the blades prior to cutting, are shown in table 2.

The table shows that the volumetric density of moringa, when compacted by the blades up to the moment of cutting, increases from just over 40 kg/m³ to 188 kg/m³, exceeding the density of the bulk material in its normal state by 4.6 times.

The results of the experimental determination of the static moringa-steel friction angle (φ_e), as well as the calculation of the dynamic friction angle (φ_d), are shown in table 3.

The table shows that the static friction angle reaches 52.5° with a mean error of 2.62°, for a significance level of 0.05, which means there is a 95% probability that the population mean lies between 49.88° and 55.12°. Furthermore, the dynamic friction angle is found to be approximately half of the static friction angle.

Results of the evaluation of the developed models

Figure 7 shows screenshots of the first page of the software developed for calculating the parameters that guarantee, on the one hand, the appropriate load-capacity relationships, and on the other hand, the suction conditions required for efficient work of a drum mill, during the processing of a mixed plant mass, composed of thin stems, branches and leaves

The software programs contain the expressions developed for calculating load-capacity relationships and suction conditions for the plant material, in order to quickly obtain the desired output variables based on the input variables entered. In this case, the programs were applied using the properties of moringa, with the aim of obtaining the mill's operating parameters that guarantee efficient operation during the processing of this plant material.

The following data were declared as inputs to the CARCAP-MOL program:

For these input data, the following outputs are obtained:

Shortest distance from the blade to the cutting edge at the start of cutting: h₁ = 1.65 × 10⁻² m.

Longest distance from the blade to the cutting edge at the start of cutting: h₂ = 6.92 × 10⁻² m.

With this input data, the program calculates the angle α between the direction of the cutting force and the perpendicular to the plane of the cutting edge, according to equation 17 $\alpha ={\mathit{tg}}^{-1}\left[tg {\phi }_d+\frac{L\bullet {q_o}^2\bullet ∆s}{4\bullet A_{e\bullet }{{F_{c }}^2\bullet \gamma }_c\bullet ∆L}\right],\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ . This ensures an average suction velocity corresponding to the flow rate qo (kg/s), while also guaranteeing the desired average particle size ΔL for the shredded particles.

It also provides the verification result for compliance with the first condition for the possibility of suction of the plant material by the cutting element, checking if the obtained angle α is greater than the friction angle. In this case, the following results were obtained:

Finally, the program provides the eccentricity value e (Fig. 6) of the drum axis with respect to the plane of the die, which is the adjustment parameter indicated to achieve the desired angle α. In this case, the value obtained is e = 0.103 m.

Método aplicado para la elaboración de los modelos de cálculo

Para la elaboración de los modelos de cálculo de los parámetros de diseño y operación de los molinos forrajeros objeto de estudio, se empleó el método conceptual de modelación, en particular la modelación mecánico-matemática, basada en la aplicación de las leyes de la mecánica a los procesos de interacción entre los órganos de trabajo del molino y la masa vegetal procesada.

Este método de modelación empleado, a diferencia de la modelación empírica, presenta un carácter determinístico, o sea que, para las mismas variables de entrada se obtienen siempre las mismas variables de salida, sin presentar incertidumbre (Martínez, 2007MARTÍNEZ, R.A.: Contribución a la Modelación Matemática Racional Dirigida al Cálculo de Parámetros en Procesos de Aplicación en la Agricultura, [en línea], Universidad Agraria de La Habana (UNAH), Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias de Segundo Grado (Dr.Cs.), La Habana, Cuba, 2007, Disponible en: https://evea.unah.edu.cu. ).

Los aspectos objeto de modelación, con vistas a determinar los parámetros de diseño y operación fueron:

Para la modelación del proceso de succión de la masa vegetal por el órgano de corte del molino, se parte de analizar las fuerzas de interacción que se originan entre las cuchillas de corte, la masa vegetal y la sufridera, aplicando sumatoria de fuerzas en el plano perpendicular al plano de corte y ajustando los parámetros de manera tal que, la resultante de la componente horizontal de la fuerza que ejercen las cuchillas sobre la masa vegetal, venza la fuerza de fricción entre la masa vegetal y la sufridera. Las expresiones que permiten determinar la velocidad que imprime el efecto de succión al material procesado, de la cual depende el calibre de las partículas y la productividad del proceso, se obtienen aplicando el principio del trabajo y la energía al proceso de interacción de las cuchillas con la masa vegetal.

La relación carga-capacidad de paso del molino constituye uno de los aspectos fundamentales durante el cálculo de cualquier órgano de trabajo que cumple determinado proceso tecnológico. Por lo general, del análisis de la relación carga-capacidad se derivan funciones que permiten relacionar los diferentes parámetros que intervienen en un proceso tecnológico dado, con vistas a establecer el régimen de trabajo adecuado de los órganos de trabajo de las máquinas que efectúan dicho proceso.

En el caso que nos ocupa, la carga se determina sobre la base del consumo diario de forraje requerido por la masa a alimentar en la granja y por el tiempo de trabajo destinado al procesamiento de la misma, mientras que la capacidad se determina en función de parámetros cinemáticos y constructivos del molino, dependiendo, además, de determinadas propiedades físico-mecánicas del material procesado y del calibre de las partículas a obtener producto de su procesamiento.

Finalmente, con vistas a garantizar un cálculo adecuado de los parámetros del molino, se establece la coincidencia entre la carga q (kg/s) y la capacidad de paso q _o, (kg/s) de manera de evitar atoros y garantizar un trabajo eficiente del equipo.

Durante el proceso de modelación se partió del análisis de modelos desarrollados con anterioridad, basados en el procesamiento de tallos gruesos Martínez y Valdés (2004)MARTÍNEZ, R.A.; VALDÉS, H.P.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4), 2004, ISSN: 2071-0054.; Valdés et al. (2010)VALDÉS, P.A.; MARTÍNEZ, A.; VALENCIA, Y.; BRITO, E.: “Influencia del momento de inercia del tambor y de diferentes ángulos de alimentación constantes sobre el calibre de las partículas de forraje procesado con picadores del tipo de tambor con alimentación manual. Parte I”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 19(3): 53-56, 2010, ISSN: 2071-0054., adaptando los mismos para el caso del procesamiento de masa vegetal mixta, como es el caso de la moringa.

Materiales y métodos empleados para la determinación de las propiedades de la moringa

Diferentes propiedades de la materia vegetal forrajera, que se relacionan con su interacción con los órganos de trabajo de los molinos, constituyen parámetros de entrada en los modelos de cálculo objeto de estudio. Entre estas propiedades se encuentran: el área de carga, el coeficiente o ángulo de fricción del material procesado con el metal, generalmente acero; la densidad de la masa procesada, tanto en su forma inicial, como compactada y la energía específica de corte. En este trabajo fuero objeto de determinación experimental:

En cuanto al ángulo de fricción dinámico y la energía específica de corte, se determinan a través de cálculos basados en datos experimentales de otros autores.

Área de carga

El área de carga (Fc, m²) se define como el área de la sección de la masa vegetal que enfrentan las cuchillas en cada acción de corte (Martínez, 2019MARTÍNEZ, R.A.: Libro de Texto Complementario: Cálculo de Parámetros en Máquinas Agrícolas Asistido por Computadora, [en línea], Ed. Entorno Virtual de Enseñanza-Aprendizaje (EVEA). Universidad Agraria de La Habana, vol. II Capitulo, San Jose de las Lajas Mayabeque, CUBA, 65-66 p., 2019, Disponible en: https://evea.unah.edu.cu. ). En función del tipo de masa vegetal a procesar y del tipo de molino, el área de carga se determina por tres vías diferentes:

donde:

d- es el diámetro medio exterior de los tallos procesados, m

c- es el número de tallos que son alimentados simultáneamente.

donde:

a- es el juego (a) entre los rodillos, m

$\mathcal{l}$ - es la longitud efectiva o ancho de la garganta de alimentación, m

ε- es un coeficiente de llenado

En estos casos, la determinación del área de carga precisa abordarse de forma experimental, ya que la masa alimentada es compactada previamente por las cuchillas hasta que el nivel de compactación de la masa genere la resistencia requerida para que se produzca el corte. Esta vía de determinación es aplicada en este trabajo para el caso de la moringa.

Para la determinación experimental del área de carga durante la interacción cuchilla-masa vegetal, fue preparada una instalación (Fig. 4) consistente en un molino de tambor del que fue removida la carcasa exterior, la rampa de alimentación y el sistema de soplado de las partículas desmenuzadas, con vistas a tener acceso libre a la zona de corte.

Una palanca (2, Fig. 4), elaborada de un tubo rectangular de acero, fue provista de una abrazadera (1) para su acoplamiento a la polea concéntrica con el eje del tambor, de manera de proporcionar diferentes valores del momento M=P∙b, mediante la colocación de un peso calibrado (3) con posibilidad de correrse a lo largo de la barra. Una muestra de masa vegetal era colocada entre la sufridera de la garganta de alimentación y la cuchilla más próxima a ésta. Las muestras eran preparadas previamente (Fig. 5) de manera que llenaran el espacio de alimentación y que presentaran una longitud y peso uniformes, a la vez que sus dimensiones transversales, sin compactar, se adaptaran a la distancia entre la sufridera y la cuchilla.

Partiendo de esa situación, el peso es alejado, incrementándose el brazo b hasta el momento en que el comienzo del corte de la porción de materia vegetal fuera inminente. En ese momento era fijado el brazo (2) y tomadas las medidas h₁, h₂ y b _s que se muestran en la Fig. 3, con una regla graduada de menor división de 1 mm. Con esos datos, el área de carga ( F _sra ) correspondiente a un sistema de alimentación manual sin rodillos alimentadores, era calculada por la expresión:

El tamaño de la muestra (n _m ) fue calculado (con los datos resultantes de un pre-experimento realizado con 10 muestras) para un nivel de significación de 0,05 y un error de la media del 10%, de acuerdo a la expresión basada en la distribución de Student:

donde:

σ: desviación media cuadrática.

t: criterio t de Student

Δ: error de la media esperado.

El cálculo, realizado con los datos obtenidos a partir del pre-experimento previo, arrojó un tamaño de muestra n _m = 12,19, procesándose en total 15 muestras.

Densidad de la masa procesada

La densidad volumétrica de los bultos de moringa a procesar fue determinada en dos condiciones:

Para la determinación de γ _d, las muestras preparadas en bultos (Fig. 5) eran pesadas con una balanza digital de precisión hasta 0.1 g.

En ambas condiciones, la densidad se determinó dividiendo la masa de la muestra entre su volumen. En el caso de las muestras sin compactar, el volumen se determinó midiendo con una cinta de tela, con menor división de 1 mm, el perímetro del bulto sin aplastar, calculando el área de la sección de cada muestra. Al multiplicar esta área por la longitud media de cada bulto, se obtenía su volumen.

En el caso de la determinación de la densidad compactada, el área de la sección del bulto correspondía al área de carga F _sra determinada por la expresión 3 $F_{sra}=b_s\bullet \frac{h_1+h_2}{2}$

El cálculo del tamaño de la muestra para esta determinación se efectuó con el mismo procedimiento empleado para la determinación del área de carga, aplicando la expresión 4 $n_m=\frac{{\sigma }^2\bullet t^{2 }}{{∆}^2}$ para un nivel de significación de 0.05 y un error de la media de 10% resultando n _m = 9, no obstante, se procesaron las mismas 15 muestras.

Ángulo de fricción

El Ángulo de fricción de la masa vegetal con el material de la sufridera se determinó a través de la medición del ángulo de fricción estático, empleando un plano inclinado con ángulo variable, colocando sobre éste una superficie de acero del mismo material y acabado de los de la sufridera. El ángulo de deslizamiento inminente era medido con un semicírculo graduado con menor división de 1^o. El tamaño de la muestra, determinado mediante la expresión 4 resultó n _m = 14, para un nivel de significación de 0,05 y un error de la media del 5%, tomándose un tamaño de muestra n _m = 20.

Partiendo de la determinación del ángulo de fricción estático, se determina el ángulo de fricción dinámico aplicando la tendencia en la diferencia entre estos dos parámetros para el caso de interacción de masa vegetal con acero, determinada por Rieznik (1964)RIEZNIK, N.: “Combinadas Silo cosechadoras, Teoría y Cálculo”, Editorial MIR-Moscú.(en ruso), 1964., así como por Valdés et al. (2010)VALDÉS, P.A.; MARTÍNEZ, A.; VALENCIA, Y.; BRITO, E.: “Influencia del momento de inercia del tambor y de diferentes ángulos de alimentación constantes sobre el calibre de las partículas de forraje procesado con picadores del tipo de tambor con alimentación manual. Parte I”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 19(3): 53-56, 2010, ISSN: 2071-0054., pudiendo arribarse a la siguiente relación rϕ entre el ángulo de fricción estático (ϕ_e) y dinámico (ϕ_d):

En esta investigación se aplica un valor medio para este intervalo, quedando la relación como:

Energía específica de corte

En el caso de la Energía Específica de Corte (Ae) no está determinada para el caso particular de la moringa, por lo que su valor es estimado tomando como referencia resultados experimentales reportados por Rieznik (1964)RIEZNIK, N.: “Combinadas Silo cosechadoras, Teoría y Cálculo”, Editorial MIR-Moscú.(en ruso), 1964. para tallos de plantas forrajeras de grosor entre 3 y 15 mm, obtenidos a velocidades de corte hasta 25 m/s con cuchillas estandarizadas, reportando valores de esta propiedad que oscilan entre 0,6. 10⁴ y 2,4. 10⁴ N $·$ m/m², correspondiendo los menores valores a las mayores velocidades de corte.

Método aplicado para la evaluación de los modelos elaborados

Con vistas a facilitar la evaluación de los modelos elaborados para el cálculo de las relaciones carga-capacidad de paso del molino y de las condiciones de succión de la masa vegetal durante su interacción con las cuchillas de corte, las expresiones derivadas de la modelación fueron programadas mediante el software Mathcad 2000 Professional. De esta manera, introduciendo a los programas elaborados los parámetros o propiedades que constituyen variables de entrada a los modelos, se obtienen como salida los parámetros objeto de determinación en forma expedita.

Método aplicado para la elaboración estadística de los resultados experimentales

Los resultados de las corridas experimentales realizadas para la determinación del área de carga, la densidad de la masa compactada y el ángulo de fricción, fueron elaborados estadísticamente, determinándose, para el total de las muestras sometidas a medición en cada caso, el valor medio, la desviación media cuadrática y el error de la media para un nivel de significación de 0,05.

Modelación del proceso de succión de la masa vegetal

El control de la succión de la masa vegetal en molinos forrajeros de alimentación manual constituye un aspecto de suma importancia en la obtención de un calibre controlado y uniforme de las partículas desmenuzadas (Martínez et al., 2004aMARTÍNEZ, A.; VALDÉS, P.; DÍAZ, J.; MATURELL, Y.; VEGA, D.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en los molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4): 1-10, 2004a, ISSN: 1010-2760.; Martínez, 2019MARTÍNEZ, R.A.: Libro de Texto Complementario: Cálculo de Parámetros en Máquinas Agrícolas Asistido por Computadora, [en línea], Ed. Entorno Virtual de Enseñanza-Aprendizaje (EVEA). Universidad Agraria de La Habana, vol. II Capitulo, San Jose de las Lajas Mayabeque, CUBA, 65-66 p., 2019, Disponible en: https://evea.unah.edu.cu. ).

Un modelo Martínez y Valdés (2004)MARTÍNEZ, R.A.; VALDÉS, H.P.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4), 2004, ISSN: 2071-0054. que esclarece satisfactoriamente qué parámetros influyen en la succión del material de manera tal que pueda incidirse en su control, con vistas a obtener tamaños adecuados de las partículas desmenuzadas y elaborado específicamente para el procesamiento de tallos gruesos, es adaptado en este trabajo, con vistas a su aplicación durante el procesamiento de una mezcla de masa vegetal compuesta de tallos, ramificaciones y hojas, como es el caso de la moringa.

El objetivo fundamental de este modelo consiste en determinar los parámetros que influyen en la succión de la masa autoalimentada por el órgano desmenuzador de los molinos forrajeros y establecer las expresiones correspondientes que permitan calcular dichos parámetros.

Para el análisis se parte de la hipótesis de que en el proceso de corte debe existir una componente de la fuerza de interacción de las cuchillas con la masa vegetal, en la dirección de la alimentación de la masa al órgano de corte, que sea capaz de ¨arrastrar¨ la masa alimentada con una velocidad media tal que asegure el flujo correspondiente a la capacidad de paso del órgano de corte. Una segunda hipótesis consiste en plantear que el trabajo realizado por esta componente de la fuerza de corte en la dirección de la alimentación, se invierta en proporcionar cierta energía cinética a la masa alimentada, la cual adquirirá una velocidad dada en la dirección de la alimentación, lo que en definitiva provoca el efecto de succión.

La Fig. 6 muestra la interacción del órgano de corte con la masa vegetal en el plano perpendicular al plano de corte. Nótese que, para ser consecuentes con la primera hipótesis planteada se ha previsto, en el caso del órgano de tambor, una excentricidad (e) del eje de rotación del rotor con respecto a la línea de alimentación (eje x).

Bajo estas condiciones, la fuerza de corte (P _cor ) se descompone en una componente vertical (P _cor .cos α) que se invierte en el corte propiamente dicho y otra horizontal (P _cor .sen α) que se invierte en el arrastre de la masa vegetal. También actúan sobre el cuerpo libre de la masa alimentada, las componentes normales (N) y horizontal (fuerza de fricción F) de la reacción de la sufridera. En el modelo se desprecia el efecto del peso de la fracción de masa en la zona de corte.

Como primera condición para la succión del material debe cumplirse que:

donde F_max: fuerza de fricción máxima, N.

siendo $\phi$ el ángulo de fricción entre la masa vegetal y el material de la sufridera.

El ángulo de fricción debe considerarse dinámico (ϕ _d ) preferiblemente, dado el carácter también dinámico de la interacción entre la sufridera y la masa vegetal cuando ésta es golpeada y arrastrada por las cuchillas.

Como quiera que:

entonces, sustituyendo 8 $F_{max}=N\bullet \tan \phi ,\mathrm{ }\mathrm{N}$ y 9 ${N=P}_{cor}\bullet \cos \alpha ,\mathrm{ }\mathrm{N}$ en 7 $P_{cor}\bullet \sin \alpha >F_{max},\mathrm{ }\mathrm{N}$ , se obtiene que:

Esto quiere decir que, como primera condición para que exista la posibilidad de succión de la masa vegetal por el órgano de corte, es necesario que el ángulo α entre la dirección de la fuerza de corte y la perpendicular al plano de la sufridera deba ser mayor que el ángulo de fricción entre la masa vegetal y el material de la sufridera.

Esta condición es necesaria pero no suficiente, ya que para que se produzca el movimiento de la masa vegetal en la dirección y sentido de la alimentación, es preciso que ésta adquiera una velocidad en ese sentido y que, además, esta velocidad tenga determinada correspondencia con el flujo de diseño (capacidad de paso, q_o) del molino, así como que garantice el calibre (Δ L ) deseado de las partículas desmenuzadas.

Aplicando el principio del trabajo y de la energía puede plantearse según Martínez et al. (2004a)MARTÍNEZ, A.; VALDÉS, P.; DÍAZ, J.; MATURELL, Y.; VEGA, D.: “Determinación de las condiciones de succión de la masa vegetal en los molinos desmenuzadores de tallos”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 13(4): 1-10, 2004a, ISSN: 1010-2760. que el trabajo de la componente horizontal de la resultante de las fuerzas se invierte en proporcionar energía cinética a la masa alimentada, disipándose además una parte de la energía por el efecto de la fricción, o sea:

donde m: valor medio de la masa del material alimentado, kg.

Este valor de la masa alimentada puede determinarse como:

siendo L _t , la longitud del bulto de tallos alimentados, m.

El área de carga F _sra corresponde a un sistema de alimentación manual sin rodillos alimentadores y se determina experimentalmente, evaluándose según la expresión 3 $F_{sra}=b_s\bullet \frac{h_1+h_2}{2}$ , mientras que la densidad de la masa compactada ${\gamma }_c$ también es determinada experimentalmente en el marco de este trabajo.

Volviendo a la expresión 11 ${(P}_{cor}\bullet \sin \alpha -F_{max})\bullet ∆L=\frac{1}{2}m{\left(V_{al}\right)}^2$ , el calibre de las partículas desmenuzadas (ΔL) y la velocidad media de la masa alimentada (V _al ), correspondiente a un flujo q _o (kg/s) igual a la capacidad de paso del molino, están relacionados según la expresión;

La velocidad media que debe tener la masa alimentada se determina, asimismo, en función del flujo de material, como:

Por otro lado, en el eje vertical puede plantearse que:

de donde, la fuerza de corte puede determinarse como:

siendo

A _e : la energía específica de corte del producto procesado, N.m/m ²

Δs: el desplazamiento de la fuerza de corte durante al contacto del filo de la cuchilla con la masa alimentada, m,

Resolviendo para α el sistema de ecuaciones 9 ${N=P}_{cor}\bullet \cos \alpha ,\mathrm{ }\mathrm{N}$ a 16 $P_{cor}=\frac{F_{sra}\bullet A_e}{∆s\bullet \cos \alpha },\mathrm{ }\mathrm{N}$ , se obtiene que:

La expresión 17 $\alpha ={\mathit{tg}}^{-1}\left[tg {\phi }_d+\frac{L\bullet {q_o}^2\bullet ∆s}{4\bullet A_{e\bullet }{{F_{c }}^2\bullet \gamma }_c\bullet ∆L}\right],\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ permite determinar el ángulo α que garantiza una velocidad media de succión correspondiente al flujo q _o (kg/s), garantizando además el calibre ΔL medio deseado para las partículas desmenuzadas. El valor de α depende de propiedades físico mecánicas de la masa alimentada tales como: Ae, γ_c y de la longitud del bulto de tallos alimentados, así como del área de carga F _sra .

El desplazamiento de la fuerza de corte (Δs) durante la ejecución del trabajo de corte, puede determinarse aproximadamente mediante la semisuma de los recorridos extremos de la cuchilla (h₁ y h₂, Fig. 3), o sea:

En cuanto al flujo q _o del material procesado por la máquina, su determinación será tratada a continuación.

Modelación para el cálculo de la relación carga-capacidad de paso

En el caso de los molinos de procesamiento de forraje para la alimentación animal, para el cálculo de la carga se parte de la masa de material procesado (G, kg/día) que se consume diariamente en una instalación pecuaria:

Siendo:

Q- la cantidad de animales a alimentar;

$g$ - el consumo diario de cada animal. kg/día.

Si se define T (h/día) como el tiempo de funcionamiento diario de la máquina desmenuzadora, durante el cual debe procesarse el alimento necesario para un día, entonces la carga q (kg/s) del órgano de trabajo estará dada por:

Por otro lado, la capacidad de paso q _o (kg/s) del órgano desmenuzador, dependerá de un conjunto de parámetros constructivos y de operación del molino, así como de propiedades de la masa vegetal y del calibre exigido para el producto procesado, tales como:

Es procedente aclarar que, en el caso objeto de estudio, se toma como área de carga (F _sra ) la correspondiente a un molino de tambor sin rodillos alimentadores y procesando una masa vegetal mixta, compuesta de tallos de poco grosor, ramificaciones y hojas, como la representada en la Figura 3. Asimismo, la densidad de la masa al momento del corte (γ _c ) se corresponde con estas condiciones.

El volumen de tallos V _n (m³/rev) cortado en una revolución del órgano de corte, estará dado por:

Entonces el volumen procesado en la unidad de tiempo V _t (m³/s) será:

y la masa de tallos que puede ser procesada en la unidad de tiempo por el órgano de trabajo (capacidad de paso) estará dada por:

Como es conocido, durante el cálculo de los parámetros de las máquinas desmenuzadoras de forraje, al igual que en otros órganos de trabajo de máquinas cosechadoras o procesadoras de productos, debe garantizarse la coincidencia entre la carga q y la capacidad de paso q _o, de manera de evitar atoros y garantizar un trabajo eficiente del equipo.

Resultados de la determinación experimental de las propiedades de la moringa

La Tabla 1 muestra los estadígrafos obtenidos durante la determinación experimental del área de carga (F _sra ) de la masa vegetal de moringa, durante su procesamiento en un molino de tambor sin alimentación forzada.

Puede apreciarse que el valor medio del área de carga alcanzó 105,02 cm² con una desviación media cuadrática de 20.96 cm², resultando un error de la media de 9,5 cm², con un nivel de significación de 0,05.

Los resultados de la determinación de la densidad volumétrica de la moringa, tanto en forma natural al inicio del proceso de alimentación, como cuando sufre la compactación por las cuchillas previo al corte, se muestran en la Tabla 2.

De la Tabla se aprecia que la densidad volumétrica de la moringa, cuando es compactada por la acción de las cuchillas hasta el momento inminente del corte, se eleva desde poco más de 40 kg/m³ , hasta 188 kg/m³ , superando en 4,6 veces la densidad del bulto en estado normal.

Los resultados de la determinación experimental del ángulo de fricción estático moringa-acero (φ_e), así como del cálculo del ángulo de fricción dinámico (φ_d) se muestran en la Tabla 3.

De la tabla se aprecia que el ángulo de fricción estático alcanza 52, 5^o con un error de la media de 2, 62^o, para un nivel de significación de 0,05, lo cual significa que existe un 95% de probabilidad de que la media de la población se encuentre entre 49,88^o y 55,12^o. Asimismo, se obtiene que el ángulo de fricción dinámico resulta aproximadamente la mitad del estático.

Resultados de la evaluación de los modelos elaborados

En la Fig. 7 se muestran capturas de pantalla de la primera página de los softwares elaborados para el cálculo de los parámetros que garantizan, por un lado, las relaciones adecuadas carga-capacidad, y por otro, las condiciones de succión requeridas para un trabajo eficiente de un molino de tambor, durante el procesamiento de una masa vegetal mixta, compuesta de tallos de poco grosor, ramificaciones y hojas.

En los softwares han sido programadas las expresiones desarrolladas para el cálculo de las relaciones carga-capacidad y las condiciones de succión de la masa vegetal, de manera de obtener, en forma expedita, las variables de salida deseadas, en función de las variables de entrada que se vayan declarando. En este caso, los programas han sido aplicados introduciendo las propiedades de la moringa, con vistas a la obtención de los parámetros de operación del molino que garanticen un trabajo eficiente durante el procesamiento de esta masa vegetal.

Como datos de entrada al programa CARCAP-MOL, fueron declarados los siguientes:

Para esos datos de entrada, se obtiene como salida:

Comprobándose que la carga no exceda la capacidad de paso de la máquina.

Para la evaluación del programa SUCMOL-MVEG, se introducen como datos de entrada los siguientes:

Con estos datos de entrada, el programa brinda como resultado el cálculo del ángulo α entre la dirección de la fuerza de corte y la perpendicular al plano de la sufridera, según la expresión 17 $\alpha ={\mathit{tg}}^{-1}\left[tg {\phi }_d+\frac{L\bullet {q_o}^2\bullet ∆s}{4\bullet A_{e\bullet }{{F_{c }}^2\bullet \gamma }_c\bullet ∆L}\right],\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}$ , que garantiza una velocidad media de succión correspondiente al flujo q_o (kg/s), garantizando además el calibre ΔL medio deseado para las partículas desmenuzadas.

Asimismo, ofrece el resultado de comprobación del cumplimiento de la primera condición para que exista la posibilidad de succión de la masa vegetal por el órgano de corte, comprobando si el ángulo α obtenido es superior al ángulo de fricción, obteniéndose en este caso que:

Por último, el programa ofrece como resultado, el valor de la excentricidad e (Fig. 6) del eje del tambor, respecto al plano de la sufridera, que constituye el parámetro de regulación indicado para lograr el ángulo α deseado. En este caso, el valor obtenido es e = 0,103 m.