Determination of head loss

The head loss on the lateral was determined from the so-called friction factor, F, proposed by Chu & Moe, (1972CHU, S.T.; MOE, D.L.: “Hydraulics of a Center Pivot System”, Transactions of the ASAE, 15(5): 894-0896, St. Joseph, MI, 1972, ISSN: 0001-2351, DOI: https://doi.org/10.13031/2013.38034, Disponible en: https://elibrary.asabe.org/abstract.asp?aid=38034&t=3.), with the following generic expression:

where h_o is the pressure load on the pivot (m); h_R, the pressure head at the final end of the lateral and h_m, the fictitious head loss with the flow through to end (m).

The term (h_o - h_R ), which represents the head loss on the lateral, is obtained from (1 $F=\frac{\left(h_o-h_R\right)}{h_m}$ ) for which the variable F is required, which was determined through a regression analysis with the STATGRAPHICS statistical package. For this, using Buckingham's P theorem, the variables involved in the analysis were defined and organized in the following dimensionless numbers P: P₁ = F; P₂ = N y P₃ = Q (n D)^-1. The functional relationship between these terms is expressed mathematically as:

where from:

where N is the number of emitters (dimensionless); Q, the inlet flow rate to the machine (L s^-1); D, inner diameter of the lateral (mm) and n, the water kinematic viscosity at 20°C (10^-6 m² s^-1).

The values of the hydraulic variables h_o, h_R and h_m, were obtained using the numerical hydraulic simulation model implemented in the EPANET 2 software. For this, a type 3² factorial design was conceived; that is, two factors with three levels each Melo et al. (2020)MELO, O.O.; LÓPEZ, L.A.; MELO, S.E.: Diseño de Experimentos. Métodos y Aplicaciones., Ed. Universidad Nacional de Colombia, Segunda ed., Bogotá, 675 p., 2020, ISBN: 978-958-701-815-8., as presented in the following table:

Figure 2 shows, as an example, one of the three numerical simulation models of irrigation pivots that correspond to each level of the factorial design: low, medium and high, as well as its equivalent model with total flow to final end.

These models represent three machines with lengths R = 200, 404 and 818 m, resulting from the number of emitters N = 64, 132 and 270, respectively, and their analysis diagram can be seen in Figure 3.

Determination of pressure load distribution

The pressure head distribution along the main pipe was calculated using the distribution factor, H, which was also proposed by Chu & Moe, (1972)CHU, S.T.; MOE, D.L.: “Hydraulics of a Center Pivot System”, Transactions of the ASAE, 15(5): 894-0896, St. Joseph, MI, 1972, ISSN: 0001-2351, DOI: https://doi.org/10.13031/2013.38034, Disponible en: https://elibrary.asabe.org/abstract.asp?aid=38034&t=3.:

where h_r, is the pressure head at the points on the main pipe, located at distances r from the pivot (m) and (h_o - h _R) is the same parameter as in (1 $F=\frac{\left(h_o-h_R\right)}{h_m}$ ).

The expression for calculating H was obtained through a regression analysis between the dimensionless parameters P₃ = Q (n D)^-1, P₄ = H y P₅ = r/R, aided by the STATGRAPHICS statistical package, according to the following functional relationship:

where r is the distance from the pivot to each discharge point (m) and R, the length of the machine (m). The variables h_o, h_R and h_m were obtained from the same three previous numerical simulation models.

Validation of the proposed equations

To validate the proposed equations, the mean absolute percentage error, MAPE, of the hydraulic head along the main pipe was established as an indicator, which consolidates the pressure head and head loss values. It was calculated as follows:

where Y_i is the measured pressure head value, $\widehat{Y}$ , the estimated value and n is the number of measurements. If the resulting value of MAPE ≤ 1…2%, then the proposed expressions are sufficiently precise to model the head loss and pressure head that occurs in the main pipe of the irrigation machine.

The measurements were carried out on the central pivot machine that was recently installed in areas of the “Jiguaní” Agricultural Enterprise, planned for irrigation of 32 hectares of citrus trees that will be foment (Figure 4).

Head loss

Table 2 shows the values of F calculated from the hydraulic variables h_o, h_R and h_m, which were obtained with the numerical simulation model implemented in EPANET 2 software. It is observed that, in the range analyzed (64 ≤ N ≤ 270), F is only a function of N and not of the dimensionless number Q (n D)^-1. This normally occurs in pressurized flow through pipes, with highs Reynolds numbers, R_e. Keep in mind that Q (n D)^-1 ∝ R_e.

To explain the functional relationship between F and N, the mathematical model shown below was adopted:

With the following fundamental statistical parameters:

The R² statistic indicates that the model as fitted explains 96.1% of the variability in F. The correlation coefficient equals 0.98, indicating a relatively strong relationship between the variables. The standard error of the estimate shows the standard deviation of the residuals to be 0.000367. This value can be used to construct prediction limits for new observations.

In the proposed model, it is observed that when N ⟶ ∞, F = 0.548. This is precisely the value of F for the velocity exponent equal to 1.852 for Hazen-Williams’s head losses equation, shown in Figure 5 as a horizontal line (F Ch&M). In the figure itself, it can be seen that the new values of F are greater than F _Ch&M = 0.548 and lower than those obtained by Keller & Bliesner (1990)KELLER, J.; BLIESNER, R.D.: Sprinkle and trickle irrigation, Ed. Springer Science and Business Media, New York, USA, 652 p., 1990, ISBN: 978-1-4757-1425-8. (F K&B), in curvilinear way.

Note also that with a wide variation of N there is a small change in F. Therefore, following the same reasoning as (Keller & Bliesner 1990KELLER, J.; BLIESNER, R.D.: Sprinkle and trickle irrigation, Ed. Springer Science and Business Media, New York, USA, 652 p., 1990, ISBN: 978-1-4757-1425-8.), who proposed a constant value of F_K&B = 0.555, alternatively to (7 $F=0.548+\frac{0.322}{N}$ ) one can use the value of F = 0.551 with a margin of error of ± 0.3%. If the value of F_K&B = 0.555 were used, a maximum error of 1% would be made.

Thus, for center pivots configured for citrus irrigation, using the Hazen-Williams equation, given that the normal flow conditions in the equipment are within their validity limits, the head loss equation, H_F, in the lateral is the following:

If it is considered that F = 0.551 and C = 120 … 130, then:

where F is the friction factor (dimensionless); C, Hazen-Williams’s roughness coefficient; R, the total length (m); Q _e, the effective capacity machine (L s^-1); D, the inner diameter of the pipe (mm) and DZ, the maximum position head difference, positive or negative (m).

Pressure load distribution

Table 3 shows a selection of 1,407 H values calculated from the hydraulic variables h_o, h_R and h_r, which were also obtained with the numerical hydraulic simulation model implemented in EPANET 2 software.

The multiple regression analysis that was carried out to define the influence of the three independent variables, $r/R$ , N y Q (n D)^-1 on the dependent parameter H, resulted that the last two do not have a statistically significant impact, for a confidence level equal to or greater than 95%. As a consequence, for the range of values analyzed, H is only dependent on $r/R$ .

Thus, from a polynomial regression analysis, which involves $r/R$ and powers of $r/R$ , it was determined that the maximum appropriate order of the adjustment polynomial is 6; However, based on a regression model selection analysis, an order 5 model was adopted that has the same adjusted coefficient of determination, R²_adj, up to the thousandth significant figure, where H is a function of the variables, $\frac{r}{R}$ , ${\left(\frac{r}{R}\right)}^2$ , …, ${\left(\frac{r}{R}\right)}^5$ . Thus, for a confidence level equal to or greater than 95%, the resulting best-fit polynomial is:

With the following fundamental statistical parameters:

Rewriting (9 $H_F=9\cdot {10}^{5}R\frac{Q_e{}^{1.852}}{D^{4.87}}\pm \Delta Z$ ), it turns out:

It is obtained that (11 $H=1-1.82\left[\left(\frac{r}{R}\right)-0.62{\left(\frac{r}{R}\right)}^3+0.17{\left(\frac{r}{R}\right)}^5\right]$ ) is similar to the following form of the equation proposed by Chu & Moe, (1972)CHU, S.T.; MOE, D.L.: “Hydraulics of a Center Pivot System”, Transactions of the ASAE, 15(5): 894-0896, St. Joseph, MI, 1972, ISSN: 0001-2351, DOI: https://doi.org/10.13031/2013.38034, Disponible en: https://elibrary.asabe.org/abstract.asp?aid=38034&t=3., with small discrepancies in coefficients of independent variables:

The maximum difference between results of both equations is 15 mm, which represents -5.2% error.

Finally, for center pivot machines configured for citrus irrigation, the equation of pressure head, h_r, at each outlet on the main pipe, located a distance r from the pivot, is as follows:

Validation of proposed equations

In Figure 6, it can be seen that the hydraulic head measurement points are located on both sides of the curve that represent their calculated values. The dispersion of these points in relation to the curve is attributed to the differences that may exist in the roughness conditions (Hazen-Williams C-coefficient and unforeseen local head loss) and, fundamentally, to appreciation of the measurement instrument (glycerin manometer), which introduces an error of ±0.51 m. However, the deviations are relatively small. The calculation of the mean absolute percentage error, MAPE, produces a value of 0.49%. This vale is less than 1 … 2%, which indicates that the proposed equations have excellent precision.

Likewise, in the scatter graph presented in Figure 7, correspondence is observed between the calculated and measured hydraulic head values.

Determinación de la pérdida de carga

La pérdida de carga en el lateral se determinó a partir del denominado factor de fricción, F, propuesto por Chu & Moe, (1972)CHU, S.T.; MOE, D.L.: “Hydraulics of a Center Pivot System”, Transactions of the ASAE, 15(5): 894-0896, St. Joseph, MI, 1972, ISSN: 0001-2351, DOI: https://doi.org/10.13031/2013.38034, Disponible en: https://elibrary.asabe.org/abstract.asp?aid=38034&t=3., con la siguiente expresión genérica:

donde h_o es la carga de presión en el pivote (m); h_R, la carga de presión en el extremo final del lateral y h_m, la pérdida de carga ficticia con el flujo en extremidad (m).

El término (h_o - h_R ), que representa la pérdida de carga en el lateral, se obtiene de (1 $F=\frac{\left(h_o-h_R\right)}{h_m}$ ) para lo que se requiere la variable F, que se determinó por medio de un análisis de regresión con el paquete estadístico STATGRAPHICS. Para ello, mediante el teorema P de Buckingham, las variables que intervienen en el análisis se definieron y organizaron en los siguientes números adimensionales P: P₁ = F; P₂ = N y P₃ = Q (n D)^-1. La relación funcional entre estos términos se expresa matemáticamente como:

de donde:

en la que N es el número de emisores (adimensional); Q, el caudal de entrada a la máquina (L s^-1); D, diámetro interior del lateral (mm) y n, la viscosidad cinemática del agua a 20°C (10^-6 m² s^-1).

Los valores de las variables hidráulicas h_o, h_R y h_m, se obtuvieron haciendo uso del modelo numérico de simulación hidráulica implementado en el software EPANET 2. Para ello se concibió un diseño factorial del tipo 3²; es decir, de dos factores con tres niveles cada uno Melo et al. (2020)MELO, O.O.; LÓPEZ, L.A.; MELO, S.E.: Diseño de Experimentos. Métodos y Aplicaciones., Ed. Universidad Nacional de Colombia, Segunda ed., Bogotá, 675 p., 2020, ISBN: 978-958-701-815-8., de la forma que se presenta en la siguiente Tabla:

En la Figura 2 se muestra, como ejemplo, uno de los tres modelos numéricos de simulación de los pivotes de riego que corresponden a cada nivel del diseño factorial: bajo, medio y alto, así como su modelo equivalente con gasto en extremidad.

Estos modelos representan tres equipos con longitudes R = 200, 404 y 818 m, que resultaron del número de emisores N = 64, 132 y 270, respectivamente, y su esquema de análisis se aprecia en la Figura 3.

Determinación de la distribución de la carga de presión

La distribución de la carga de presión a lo largo de la tubería principal se calculó mediante el factor de distribución, H, que también propusieron Chu & Moe, (1972)CHU, S.T.; MOE, D.L.: “Hydraulics of a Center Pivot System”, Transactions of the ASAE, 15(5): 894-0896, St. Joseph, MI, 1972, ISSN: 0001-2351, DOI: https://doi.org/10.13031/2013.38034, Disponible en: https://elibrary.asabe.org/abstract.asp?aid=38034&t=3.:

donde h_r, es la carga de presión en los puntos sobre la tubería principal ubicados a las distancias r del pivote (m) y (h_o - h_R) es el mismo parámetro que en (1 $F=\frac{\left(h_o-h_R\right)}{h_m}$ ).

La expresión de cálculo de H se obtuvo mediante un análisis de regresión entre los parámetros adimensionales P₃ = Q (n D)^-1, P₄ = H y P₅ = r/R, auxiliado por el paquete estadístico STATGRAPHICS según la relación funcional siguiente:

donde r es la distancia desde el pivote de la máquina hasta cada punto de descarga (m) y R, la longitud de la máquina (m). Las variables h_o, h_R y h_m se obtuvieron de los mismos tres modelos de simulación numéricos anteriores.

Validación de las ecuaciones propuestas

Para validar las ecuaciones propuestas se estableció como indicador el error porcentual absoluto medio, MAPE, de la carga hidráulica a lo largo de la tubería principal que consolida los valores la carga de presión y la pérdida de carga. Se calculó del siguiente modo:

donde Y_i es el valor de la carga de presión medido, $\widehat{Y}$ , el valor estimado y n es el número de mediciones. Si el valor resultante de MAPE ≤ 1 … 2%, entonces las expresiones modelan con suficiente precisión la pérdida de carga y la carga de presión que se produce en la tubería principal de la máquina de riego.

Las mediciones se realizaron en la máquina de pivote central que recientemente se instaló en áreas de la Empresa Agropecuaria “Jiguaní”, prevista para el riego de 32 ha de cítricos que se fomentarán (Figura 4).

Pérdida de carga

En la Tabla 2 se recogen los valores de F calculados a partir de las variables hidráulicas h_o, h_R y h_m, que se obtuvieron con el modelo numérico de simulación implementado en el software EPANET 2. Se observa que, en el rango que se analiza (64 ≤ N ≤ 270), F es solamente función de N y no del número adimensional Q (n D)^-1. Esto normalmente sucede en el flujo de fluidos a presión por tuberías con números de Reynolds, R_e, elevados. Téngase presente que Q (n D)^-1 ∝ R_e.

Para explicar la relación funcional entre F y N, se adoptó el modelo matemático que se muestra a continuación:

Con los parámetros estadísticos fundamentales siguientes:

El estadístico R² indica que el modelo ajustado explica el 96.1% de la variabilidad en F; el coeficiente de correlación igual a 0.98, indica una relación relativamente fuerte entre las variables y el error estándar de la estimación muestra que la desviación estándar de los residuos es 0.000367, con el que se construyen los límites de predicción.

En el modelo propuesto, se observa que cuando N → ∞, F = 0.548. Este es justamente el valor de F, para el exponente de la velocidad igual a 1.852 de la ecuación de Hazen-Williams para las pérdidas de carga, mostrado en la Figura 5 como una recta horizontal (F Ch&M). En la propia figura se aprecia que los nuevos valores de F son mayores que F_Ch&M = 0.548 e inferiores a los que, en forma curvilínea, obtuvieron Keller & Bliesner (1990)KELLER, J.; BLIESNER, R.D.: Sprinkle and trickle irrigation, Ed. Springer Science and Business Media, New York, USA, 652 p., 1990, ISBN: 978-1-4757-1425-8. (F K&B).

Véase también que frente a una amplia variación de N se presenta un pequeño cambio de F. Por tanto, siguiendo el mismo razonamiento de (Keller & Bliesner 1990KELLER, J.; BLIESNER, R.D.: Sprinkle and trickle irrigation, Ed. Springer Science and Business Media, New York, USA, 652 p., 1990, ISBN: 978-1-4757-1425-8.), que propusieron un valor constante de F_K&B = 0.555, alternativamente a (7 $F=0.548+\frac{0.322}{N}$ ) se puede utilizar el valor de F = 0.551 con un margen de error de ± 0.3%. Si se utilizara el valor de F_K&B = 0.555, se cometería un error máximo del 1%.

Así, para pivotes centrales configurados para el riego de cítricos, utilizando la ecuación de Hazen-Williams, dado que las condiciones de flujo normales en el equipo se encuentran dentro de sus límites de validez, la ecuación de pérdida de carga, H_F, en el lateral es la siguiente:

Si se considera que F = 0.551 y C = 120 … 130, entonces:

en las que F es el factor de fricción (adimensional); C, coeficiente de rugosidad de Hazen-Williams; R, la longitud total (m); Q_e, la capacidad efectiva de la máquina (L s^-1); D, el diámetro interior de la tubería (mm) y DZ, la diferencia máxima de carga de posición, positiva o negativa (m).

Distribución de la carga de presión

En la Tabla 3 se muestra una selección de los 1 407 valores de H calculados a partir de las variables hidráulicas h_o, h_R y h_r, que también se obtuvieron con el modelo numérico de simulación hidráulica implementado en el software EPANET 2.

El análisis de regresión múltiple que se realizó para definir la influencia de las tres variables independientes $\frac{r}{R}$ , N y Q (n D)^-1 sobre el parámetro dependiente H, resultó que las dos últimas no tienen un impacto estadísticamente significativo, para un nivel de confianza igual o superior al 95%. Como consecuencia, para el rango de valores analizados, H solamente es dependiente de $\frac{r}{R}$ .

Así, a partir de un análisis de regresión polinomial, que involucra a $\frac{r}{R}$ y potencias de $\frac{r}{R}$ , se determinó que el orden apropiado máximo del polinomio de ajuste es 6; no obstante, sobre la base de un análisis de selección del modelo de regresión, se adoptó un modelo de orden 5 que tiene igual coeficiente de determinación ajustado, R² _adj, hasta la milésima cifra significativa, donde H es función de las variables $\frac{r}{R}$ , ${\left(\frac{r}{R}\right)}^2$ , …, ${\left(\frac{r}{R}\right)}^5$ . De ese modo, para un nivel de confianza igual o superior al 95%, el polinomio de mejor ajuste que resulta es:

Con los siguientes parámetros estadísticos principales:

Rescribiendo (9 $H_F=9\cdot {10}^{5}R\frac{Q_e{}^{1.852}}{D^{4.87}}\pm \Delta Z$ ), se tiene que:

Resultó que (11 $H=1-1.82\left[\left(\frac{r}{R}\right)-0.62{\left(\frac{r}{R}\right)}^3+0.17{\left(\frac{r}{R}\right)}^5\right]$ ) es parecida a la siguiente forma de la ecuación que propusieron Chu & Moe, (1972)CHU, S.T.; MOE, D.L.: “Hydraulics of a Center Pivot System”, Transactions of the ASAE, 15(5): 894-0896, St. Joseph, MI, 1972, ISSN: 0001-2351, DOI: https://doi.org/10.13031/2013.38034, Disponible en: https://elibrary.asabe.org/abstract.asp?aid=38034&t=3., con pequeñas discrepancias en el valor de los coeficientes de las variables independientes:

La diferencia máxima entre los resultados de ambas ecuaciones es de 15 mm, que representa un -5.2% de error.

Finalmente, para las máquinas de pivote central configuradas para el riego de cítricos, la ecuación de la carga de presión, h_r, en cada salida sobre la tubería principal, ubicadas a una distancia r del pívot, es la siguiente:

Validación de las ecuaciones propuestas

En la Figura 6 se puede observar que los puntos de medición de la carga hidráulica se ubican a ambos lados de la curva que representan sus valores calculados. La dispersión de estos puntos con relación a la curva se atribuye a las diferencias que pueden existir en las condiciones de rugosidad (coeficiente C de Hazen-Williams y pérdida de carga locales no previstas) y, fundamentalmente, a la apreciación del instrumento de medición de la presión (manómetro de glicerina), que introduce un error de ±0.51 m. No obstante, las desviaciones son relativamente pequeñas. El cálculo del error porcentual medio absoluto, MAPE, produce un valor de 0.49%. Esta cifra, menor que 1 … 2%, indica que las ecuaciones propuestas tienen excelente precisión.

Igualmente, en el gráfico de dispersión que se presenta en la Figura 7, se observa correspondencia entre los valores de carga hidráulica calculadas y medidas.