Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias Vol. 32, No. 4, October-December, 2023, ISSN: 2071-0054

CU-ID: https://cu-id.com/2177/v32n4e03

ORIGINAL ARTICLE

Experimental Theoretical Model for Improving the Management of Electrical Center Pivot Machines

^iDRider Riveras-Hernandez^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.*✉:rider@unica.cu

^iDDafne Ortegas-Borroto^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDOscar Brown-Manrique^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDLorenzo Eddy Camejo-Barreiro^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDJulio César Quintana-Zaez^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDMaiquel Lopez-Silva^IIUniversidad Ricardo Palma, Lima, Perú.

^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^IIUniversidad Ricardo Palma, Lima, Perú.

^*Author for correspondence: Rider Riveras-Hernaandez, e-mail: rider@unica.cu

ABSTRACT

Polynomial regression is a useful tool for modeling problems related to the prediction of pressures along a pipeline with multiple outlets in pressurized irrigation systems. The fundamental characteristic of this model is its simplicity to forecast pressure data in an irrigation pipe and extend the number of observations. In the investigation, models were developed in which the pressure along the pipeline was related to different independent variables such as the flow at each outlet and the sum of the spacing between outlets from the beginning of the pipeline. The validation of the model was carried out from data used for estimation and forecasting, using the coefficient of determination (R²) which is a recommended indicator to measure the reliability of the model and the mean percentage error widely used to measure the performance of the model. As a case study, an electric central pivot irrigation system was used in the cultivation of sugarcane, where the most appropriate model was the second-order and decreasing polynomial type, which achieved an excellent approximation to the real behavior of the data, with an R2 of 0.9972 and an average percentage error of less than 12%.

Keywords:

Polynomial Regression, Multiple Outlet Pipes, Pressurized Irrigation Systems

Received: 20/4/2023; Accepted: 01/9/2023

Rider Riveras-Hernández. MSc., Prof. Auxiliar. Doctorando del Programa Ciencias Técnicas Agropecuaria. Universidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Facultad de Ciencias Técnicas, Departamento de Ingeniería Hidráulica (DIH), Ciego de Ávila, Cuba, e-mail: rider@unica.cu.

Dafne Ortegas-Borroto. MSc., Doctorando del Programa Ciencias Técnicas Agropecuaria, Universidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Departamento de Ingeniería Hidráulica (DIH), Ciego de Ávila, Cuba, e-mail: dafne@unica.cu.

Oscar Brown-Manrique. Dr.C., Prof. Titular. Universidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Facultad de Ciencias Técnicas, Centro de Estudios Hidrotécnicos (CEH), Ciego de Ávila, Cuba, e-mail: obrown@unica.cu.

Lorenzo Eddy Camejo-Barreiro. Dr.C., Prof. Titular. Universidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Facultad de Ciencias Técnicas, Centro de Estudios Hidrotécnicos (CEH), Ciego de Ávila, Cuba, e-mail: eddy@unica.cu.

Julio César Quintana-Zaez. Dr.C., Prof. Titular. Universidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Facultad de Ciencias Informáticas, Departamento de Informática, Ciego de Ávila, Cuba, e-mail: jcquintana@unica.cu.

Maiquel Lopez-Silva. Dr.C., Prof. Titular. Universidad Ricardo Palma, Perú, e-mail: maiquel.lopez@urp.edu.pe.

The authors of this work declare no conflict of interests.

AUTHOR CONTRIBUTIONS: Conceptualization: R. Riveras, O. Brown. Data curation: O. Brown, R. Riveras, D. Ortega. L. E. Camejo, J. C. Quintana. Investigation: R. Riveras, O. Brown, D Ortega. Methodology: R. Riveras, O. Brown, J. C. Quintana, M. López, L. E. Camejo. Supervision: O. Brown, R. Riveras. Validation: R. Riveras, O. Brown, D. Ortega, J. C. Quinatana. Papers/Editorial, original draft: O. Brown, R. Riveras. Writing, revision and editing: R. Riveras, O.Brown.

This article is under license Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International (CC BY-NC 4.0)

CONTENT

INTRODUCTION

⌅

The increasing levels of competitiveness in the current agricultural market have motivated the urgent need to optimize the resources used in the productive systems, as is the case of the water used in agriculture according to Pérez-Armas et al. (2020)PÉREZ-ARMAS, R.; FERNÁNDEZ-MASS, R.; HERNÁNDEZ-HERNÁNDEZ, H.; PONCE-RANCEL, L.: “Uniformidad del riego de las Máquinas de Pivote 4 y 9 de la Empresa Agropecuaria Horquita”, Revista Científica Agroecosistemas, 8(3): 70-76, 2020, ISSN: 2415-2862., which is the user that consumes 85 % of the water on the planet. As a means to mitigate this problem, different systems have been developed for its saving, based on its best use and the use of more efficient technologies; since the scarcity of water and the inadequate use of irrigation systems generate higher production costs for farmers (Guijarro-Rodríguez et al., 2018GUIJARRO-RODRÍGUEZ, A.A.; CEVALLOS-TORRES, L.; PRECIADO-MAILA, D.K.; ZAMBRANO-MANZUR, B.N.: “Sistema de riego automatizado con Arduino”, Sistema, 39(37): 27, 2018, ISSN: 0798-1015.; Barrezueta-Unda et al., 2020BARREZUETA-UNDA, C.S.; BURBANO-BUSTOS, A.F.; SALGADO-ORDOSGOITIA, R.D.; MERLANO-PORTO, R.H.: “Control de riego en cultivos de ahuyama en Sincelejo, Sucre (Colombia) gestionados a través del Internet de las Cosas”, Información tecnológica, 31(5): 79-88, 2020, ISSN: 0718-0764, Publisher: SciELO Chile, DOI: http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642020000500079.).

The pressurized irrigation technique has a great impact on the rational use of water, due to the inputs used and its proper functioning, which allows reducing the amount of water used as a contributionrrr to the optimization of water consumption without causing water stress in crops (Meneses-Rojas & Sulca-Castilla, 2020MENESES-ROJAS, R.A.; SULCA-CASTILLA, O.: “Régimen de riego del cultivo de palto en valle rio Pampas Apurímac-Ayacucho 2019”, Investigación, 28(1): 73-81, 2020, ISSN: 2709-8583, DOI: https://doi.org/10.51440/unsch.revistainvestigacion.28.1.2020.358.).

In pressurized irrigation systems, the water is conducted through pipes with a certain pressure so that it can reach the plants through emitters that can be drippers, sprinklers, micro sprinklers, etc. These devices also allow the application of fertilizers with the irrigation water with a high efficiency of water application depending on the type of emitter (Calejo et al., 2008CALEJO, M.; LAMADDALENA, N.; TEIXEIRA, J.; PEREIRA, L.S.: “Performance analysis of pressurized irrigation systems operating on-demand using flow-driven simulation models”, Agricultural water management, 95(2): 154-162, 2008, ISSN: 0378-3774, Publisher: Elsevier.; Attia et al., 2019ATTIA, S.S.; EL-GINDY, A.; MANSOUR, H.; KALIL, S.E.; ARAFA, Y.E.: “Performance analysis of pressurized irrigation systems using simulation model technique”, Plant Archives, 19(Supplement 1): 721-731, 2019, ISSN: 0972-5210.).

Among the most widely used pressurized irrigation systems in the world are electric central pivot machines, which allow notable water and energy savings when compared to other irrigation techniques such as traditional sprinklers and hydraulically operated pivots (Pérez-Armas et al., 2020PÉREZ-ARMAS, R.; FERNÁNDEZ-MASS, R.; HERNÁNDEZ-HERNÁNDEZ, H.; PONCE-RANCEL, L.: “Uniformidad del riego de las Máquinas de Pivote 4 y 9 de la Empresa Agropecuaria Horquita”, Revista Científica Agroecosistemas, 8(3): 70-76, 2020, ISSN: 2415-2862.).

The proper design of pressurized irrigation systems is closely related to the correct operation and high efficiency in the use of water (Del Río-San José et al., 2019DEL RÍO-SAN JOSÉ, J.; REQUE-KILCHENMANN, J.A.; MARTÍNEZ-DE AZAGRA PAREDES, A.: “Evaluación comparativa de la eficiencia técnica de los sistemas de riego de brinzales”, Cuadernos de la Sociedad Española de Ciencias Forestales, (45): 219-230, 2019, ISSN: 1575-2410, Publisher: Sociedad Española de Ciencias Forestales, DOI: https://doi.org/10.31167/csecfv2i45.19516.). The laterals of these systems are frequently made up of pipes with multiple outlets, which makes the hydraulic design of said pipes more complex (González-Quirino et al., 2021GONZÁLEZ-QUIRINO, J.G.; ACEVEDO-DARIAS, M.; PRECIADO-RANGEL, P.; YESCAS-CORONADO, P.; BARRIOS-DÍAZ, J.M.; REYES-GONZÁLEZ, A.: “Ecuación determinística para el diseño hidráulico de sistemas de riego por salidas múltiples”, Revista mexicana de ciencias agrícolas, 12(5): 777-789, 2021, ISSN: 2007-0934, Publisher: Instituto Nacional de Investigaciones Forestales, Agrícolas y Pecuarias.).

The hydraulics of the pipes that distribute the flow of pressurized irrigation systems is a matter that has not yet been sufficiently resolved because it is a complex problem due to it deals with highly non-linear processes and involves various parameters and physical principles such as conservation of matter and energy in moving fluids (Riveras & Mujica-Cervantes, 2012RIVERAS, R.; MUJICA-CERVANTES, A.: ““DITMUSA” Software para el diseño de sistemas de tuberías dotadas de múltiples salidas”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 21: 63-68, 2012, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054, Publisher: Universidad Agraria de La Habana.; Alegret & Martínez, 2019ALEGRET-, E.; MARTÍNEZ, Y.: “Coeficiente de Hazen-Williams en función del número de Reynolds y la rugosidad relativa”, Ingeniería Hidráulica y Ambiental, 40(3): 41-55, 2019, ISSN: 1680-0338.).

For the experimental obtaining of variables of design and management of irrigation systems, regression models can be used, which have become an essential tool for the integral management of water resources and the environment, the spatial prediction of precipitation in hydrographic basins and the design and management of agricultural irrigation systems. Once calibrated in the specific conditions in which they were developed, they become a valuable alternative applicable to pressurized and gravity irrigation systems (Álvarez-Sevilla et al., 2021ÁLVAREZ-SEVILLA, I.; BROWN-MANRIQUE, O.; DEL CID-COLINDRES, E.P.: “Modelos matemáticos para la estimación de variables hidroagrícolas en el diseño de sistemas de riego/Mathematical models for the estimation of hydro agricultural variables in the irrigation systems design”, Universidad & ciencia, 10(3): 99-112, 2021, ISSN: 2227-2690.). These models are applicable in the modeling of problems related to the forecast of parameters in irrigation systems due to their simplicity and ability to forecast the variables involved.

Taking into account the aspects expressed above, the objective of the work is to develop an experimental theoretical mathematical model that allows the improvement of the management of electric central pivot machines which have a distribution pipe equipped with multiple outlets.

MATERIALS AND METHODS

⌅

The research was carried out at the “Ethiopian Revolution” Agricultural Production Cooperative located at coordinates 21°50´20’’N and 78°39´06’’W, Morón Highway, two kilometers from Santana Town. In this cooperative, there are currently seven electric central pivot machines that irrigate an area of 5,65.10⁶ m² (Figure 1).

FIGURE 1. Location of the electric center pivot machine.

The electrical central pivot machine evaluated is of the BAYATUSA-WESTERN brand installed for the irrigation of sugar cane and presents the following characteristics: nine towers of 55 m, working pressure of 250 kPa, galvanized zinc irrigation pipe, total length of the lateral is 502 m, diameter of the lateral is 168.3 mm and diameter of the pivot is 200 mm. Each section has 19 sprinklers except the first one that has 14 sprinklers. The machine has 166 Spray type sprinklers of different diameters placed at intervals of 3 m (Table 1 and Figure 2).

TABLE 1. Technical characteristics of the electric central pivot machine

Brand	BAYATUSA-WESTERN
Work pressure	250 kPa
Irrigation pipe	Galvanized Zinc
Full length of the side	502 m
Side diameter	168,3 mm
Pivot diameter	200 mm
Number of towers	9
Total number of sprinklers	166

FIGURE 2. BAYATUSA-WESTERN electrical center pivot machine.

The experiment began with the transfer of the irrigation machine towards the road that separates the cultivated fields with a speed of 2,57 m min^-1 in the last tower. The average working pressure during the test was 250 kPa. The experimental process was based on the measurement of the wind speed with a calibrated integral-cup anemometer of the brand ΓOCT 7193-74 M/C and precision of ±0,10 m s^-1. The pressure was measured in the metallic Bourdon manometer of the DeWit brand with a pressure of 60.0 psi (413,7 kPa) and a precision of 0.90 psi (20 kPa) placed in the pivot. The flow rate was measured in all the sprinklers using the volumetric gauging method to optimize the resources used in the productive systems, as is the case of the water used in agriculture according to Cisneros-Zayas et al. (2019)CISNEROS-ZAYAS, E.; VENERO-DELGADO, Y.; PLACERES-MIRANDA, Z.; GONZÁLEZ-ROBAINA, F.: “El viento y su influencia en los parámetros de calidad del riego”, Ingeniería Agrícola, 9(4), 2019, ISSN: 2227-8761.; Catalán-López (2022)CATALÁN-LÓPEZ, J.R.: “Análisis del efecto de uso de trituradores de desechos de comida en la calidad del agua residual”, Agua, Saneamiento & Ambiente, 17(2): 31-40, 2022, ISSN: 2224-9958. from which the volume discharged in a 10 L container was captured in a determined time. The measurement instruments used were a 500 mL graduated cylinder with a precision of one milliliter and a Timer & Counter digital chronometer with precision to seconds (Figure 3).

FIGURE 3. Volumetric capacity of the sprinklers.

As results of the experiment, different mathematical statistical models were developed to relate the pressure along the pipeline with different independent variables such as the flow at each outlet and the sum of the spacing between outlets from the beginning of the pipeline. The validation of the model was carried out from data used for estimation and forecasting, using the coefficient of determination (R ² ), which is a recommended indicator to measure the reliability of the model, and the mean percentage error (E _pm ) widely used to measure the performance of the model. This was estimated using the following equation: The model is accepted when the E _pm ≤ 20%

RESULT AND DISCUSSION

⌅

Development of the Experimental Theoretical Model to Estimate the Pressure at the Lateral Outlets

⌅

The procedure to develop the experimental theoretical model was aimed at estimating the pressure at each outlet of the irrigation pipe in the electric central pivot machine and it was implemented progressively, segment by segment from the manometer at the beginning of the system to the end of the lateral. In this new procedure, the physical principles of conservation of mass and conservation of energy were taken into account.

The principle of conservation of mass was applied in this investigation to quantify the flow at the entrance of the lateral and its variation along the irrigation line, taking into account that the flow that enters through one end of the pipe has to be equal to the flow that comes out according to Riaño-Valle (2021)RIAÑO-VALLE, F.: “Los aportes de Leonhard Euler al desarrollo de la Hidráulica”, Ingeniería Hidráulica y Ambiental, 42(3): 82-102, 2021, ISSN: 2788-6050, e-ISSN: 1680-0338.. That constitutes the starting point of the model proposed to improve the management of electric central pivot machines and is expressed by the continuity equation.

The principle of conservation of energy was used through the energy balance applied firstly between the height of the manometer placed on the pivot and the rotating elbow; subsequently between this point and all outlets along the irrigation pipe. This principle materialized through the Bernoulli Equation, which establishes an inverse relationship between the energy that circulates through the duct and the velocity (Vega-Calderón et al., 2017VEGA-CALDERÓN, F.; GALLEGOS-CÁZARES, L.; FLORES-CAMACHO, F.: “Dificultades conceptuales para la comprensión de la ecuación de Bernoulli”, Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias, 14(2): 339-352, 2017, ISSN: 1697-011X, Publisher: Universidad de Cádiz/Asociación de Profesores Amigos de la Ciencia Eureka.).

The flow at the inlet of the lateral of the pivot machine was determined by the sum of the flows discharged by each sprinkler from the following equation:

Q_{0} = \sum_{i = 1}^{i = N} q_{i}

(1)

Where Q ₀ is the total flow of the lateral (L s ^-1 ); q _i the flow that comes out of each sprinkler (L s^-1); N the total number of outlets of the lateral; i the index that expresses the number of sprinkles evaluated (i = 1, 2, …, 166).

The total flow of the lateral as it circulates through each section of the pipe decreases due to the combined effect of the loss of energy and the diversion of the flow q _i at each outlet; as expressed in the following equation:

Q_{i} = Q_{i - 1} - q_{i}

(2)

where Q _i is the circulation flow for each section (L s ^-1 ); Q _i-1 is the circulation flow in the previous section (L s ^-1 ); q _i the flow that comes out of each sprinkler (L s^-1); i the index that expresses the number of sprinkles evaluated ( i = 1, 2, …, 166).

For calculating the pressure in the first section between the point located on the pivot manometer (M) and the point placed on the rotating elbow (C), where the beginning of the lateral of the pivot machine begins, the Equation of Bernoulli is exposed, which is given by:

\frac{P_{M}}{γ} + \frac{v_{M} ²}{2 g} + Z_{M} = \frac{P_{C}}{γ} + \frac{v_{C}^{²}}{2 g} + Z_{C} + \sum {h_{M - C}}_{}

(3)

Where P _M is the value of the pressure registered in the manometer placed on the pivot (kg m^-1 s^-2); v _M the speed in the first stretch (m s^-1); Z _M the height of the manometer considered zero because it is the point where the reference level for the energy balance is drawn (m). Ʃh is the sum of the head losses due to friction and located (m); γ the specific weight of water (kg m^-2 s^-2); g the acceleration due to gravity (m s^-2 ).

To calculate the pressure head at point C, this term was solved in equation (5) $v = \frac{4 ∙ Q}{π ∙ D^{2}}$ , considering it is a pipe without branches; therefore, the flow is constant throughout the length of the section analyzed. In this first section, the velocities are simplified; so the following equation is obtained:

\frac{P_{M}}{γ} + \frac{v_{M} ²}{2 g} + Z_{M} = \frac{P_{C}}{γ} + \frac{v_{C}^{²}}{2 g} + Z_{C} + \sum {h_{M - C}}_{}

(4)

From the first outlet on the lateral, the diameter remains constant; but the flow varies because it is a pipe with multiple outlets; therefore, velocity must be taken into account in the analysis of each section. In all cases, the velocity of the fluid was calculated by the economic velocity method through the following equation:

v = \frac{4 ∙ Q}{π ∙ D^{2}}

(5)

where v is the velocity of the flow; Q the total flow of the lateral (m³ s^-1); D the diameter of the lateral (m).

To calculate the pressure head in each outlet, the following equation is used:

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{v_{i - 1} ²}{2 g} + Z_{i - 1} - \frac{v_{i}^{2}}{2 g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(6)

where P _i is the pressure value at each lateral outlet (kg m^-1 s^-2 ); v _i-1 the velocity of the flow in the previous section (m s^-1); Z _i-1 the height of the pipe at the previous outlet above the reference level (m); v _i the velocity of the flow in the current section (m s-1). Z _i is the height of the pipe in the current outlet above the reference level (m); Ʃh _(i-1)-i the sum of the head losses due to friction and located (m) between the two outlets analyzed; γ the specific weight of water (kg m^-2 s^-2); g the acceleration due to gravity (m s^-2).

Substituting equation (7) $\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i - 1}}{π ∙ D_{i - 1}^{2}})}^{2}}{2 g} + Z_{i - 1} - \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i}}{π ∙ D_{i}^{2}})}^{2}}{2 g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}$ in (8) $\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{8 Q_{i - 1}^{2}}{π^{2} . D_{i - 1}^{4} . g} + Z_{i - 1} - \frac{8 Q_{i}^{2}}{π^{2} . D_{i}^{4} . g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}$ it is achieved that the equation is only a function of the flow.

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i - 1}}{π ∙ D_{i - 1}^{2}})}^{2}}{2 g} + Z_{i - 1} - \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i}}{π ∙ D_{i}^{2}})}^{2}}{2 g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(7)

Simplifying the above equation, it is obtained:

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{8 Q_{i - 1}^{2}}{π^{2} . D_{i - 1}^{4} . g} + Z_{i - 1} - \frac{8 Q_{i}^{2}}{π^{2} . D_{i}^{4} . g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(8)

Taking out a common factor, the following expression is obtained:

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{8}{π^{2} . g} (\frac{Q_{i - 1}^{2}}{D_{i - 1}^{4}} - \frac{Q_{i}^{2}}{D_{i}^{4}}) + Z_{i - 1} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(9)

The above expression is the general equation for estimating pressures at all lateral pipe outlets of an electric center pivot machine. This analytical formulation was developed section by section from the beginning of the pipeline to the end. To apply this equation, it is necessary to know the head losses for each section between outlets, which are determined by the Darcy- Weisbach Equation.

The friction factor was calculated using the Swamee-Jain Equation according to Caparicona-Marca (2020)CAPARICONA-MARCA, J.J.: “Elaboración de un programa informático de aplicación para diseño agronómico e hidráulico en el método de riego por goteo”, Apthapi, 6(2): 1935-1953, 2020, ISSN: 2519-9382. in case the flow was turbulent. When the flow was laminar, the Poiseuille Equation was used (Ladino-Moreno et al., 2019LADINO-MORENO, E.O.; UBAQUE, C.A.; GARCÍA-VACA, M.C.: “Determinación del coeficiente de resistencia de Darcy-Weisbach utilizando el enfoque Newton-Raphson para android 4.0”, Tecnura: Tecnología y Cultura Afirmando el Conocimiento, 23(60): 52-58, 2019, ISSN: 0123-921X, Publisher: Universidad Distrital Francisco José de Caldas, DOI: https://doi.org/10.14483/22487638.1 4929.).

f = \frac{0.25}{{[\log (\frac{\frac{ε}{D}}{3.7} + \frac{5.74}{{N R}_{i}^{0.9}})]}^{2}}

(10)

f_{i} = \frac{64}{{N R}_{i}}

(11)

Where ε is the absolute roughness (m); D the diameter of the lateral pipe (m); NR _i the Reynolds number in each stretch (dimensionless).

Development of the Statistical Regression Model

⌅

The general equation for the estimation of the pressures in all the outlets of the lateral pipe, was applied in the electric central pivot machine of the BAYATUSA-WESTERN brand installed for the irrigation of sugar cane, obtaining different models of exponential and polynomials shown below.

Figure 4 shows the curve that relates the pressures at each outlet of the lateral pipe with the flow of each outlet, which satisfactorily adjusts to the exponential model with a high coefficient of determination (R ² ) of 0.9526 and a mean percentage error of (E _pm ) of 1.30%, which indicates its high reliability to be used for forecasting purposes. The equation found was:

P_{i} = 25.395 e^{- 1,361 q_{i}}

(12)

FIGURE 4. Behavior of the pressure as a function of the output flow

Figure 5 shows the curve that relates the pressures at each outlet of the lateral pipe with the sum of the spacing between outlets, which satisfactorily adjusts to the polynomial model of degree two, with a high coefficient of determination (R ² ) of 0.9982 and a mean percentage error of (E _pm ) of 0.50%. That indicates its high reliability to be used for forecasting purposes. The equation found was:

P_{i} = 0.00003 ({Ʃ E}^{2}) - 0 ., 0249 (Ʃ E) + 23.458

(13)

FIGURE 5. Behavior of the pressure as a function of the sum of spacing between outlets

Figure 6 shows the curve that relates the pressures at each outlet of the lateral pipe with the circulation flow of each section, which satisfactorily adjusts to the polynomial model of degree two, with a high coefficient of determination (R ² ) of 0.9524 and a mean percentage error of (E _pm ) of 1.04 %. That indicates its high reliability to be used for forecasting purposes. The equation found was:

P_{i} = 0.0091 Q_{i}^{2} - 0.1767 Q_{i} + 19.136

(14)

FIGURE 6. Behavior of the pressure as a function of the circulation flow in each section.

CONCLUSIONS

⌅

It is possible to develop a mathematical model based on field measurements, for the hydraulic design of multi-outlet pipes of an electric central pivot irrigation system for sugarcane cultivation. It allowed estimating the behavior of the pressure as a function of the outlet flow P _i = f(q _i ), the sum of the spacing between outlets P _i = f(ƩE _i ) and the circulation flow in each section P _i = f(Q _i ).
The model developed to estimate the pressure as a function of the sum of the spacing between outlets, of the circulation and outlet flows, has a high reliability due to the fact that the coefficient of determination (R²) is greater than 0.95 in all the cases analyzed.
The mean percentage errors obtained by the three curves are within the range established to be acceptable, the values being 1.30%; 0.50% and 1.04% less than 20%, respectively.

ACKNOWLEDGMENTS

⌅

The authors of this document thank the Department of Hydraulic Engineering (DIH) of the Máximo Gómez Báez University of Ciego de Ávila for having supported and guaranteed the development of this research, which is of great importance for the efficient use of water and the increase in food production, to the Cooperative of Agricultural Production Revolution de Ethiopia for the support provided in the field evaluations.

REFERENCE

⌅

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ATTIA, S.S.; EL-GINDY, A.; MANSOUR, H.; KALIL, S.E.; ARAFA, Y.E.: “Performance analysis of pressurized irrigation systems using simulation model technique”, Plant Archives, 19(Supplement 1): 721-731, 2019, ISSN: 0972-5210.

BARREZUETA-UNDA, C.S.; BURBANO-BUSTOS, A.F.; SALGADO-ORDOSGOITIA, R.D.; MERLANO-PORTO, R.H.: “Control de riego en cultivos de ahuyama en Sincelejo, Sucre (Colombia) gestionados a través del Internet de las Cosas”, Información tecnológica, 31(5): 79-88, 2020, ISSN: 0718-0764, Publisher: SciELO Chile, DOI: http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642020000500079.

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Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias Vol. 32, No. 4, October-December, 2023, ISSN: 2071-0054

ARTÍCULO ORIGINAL

Modelo teórico experimental para el mejoramiento del manejo de máquinas de pivote central eléctricas

^iDRider Riveras-Hernandez^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.*✉:rider@unica.cu

^iDDafne Ortegas-Borroto^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDOscar Brown-Manrique^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDLorenzo Eddy Camejo-Barreiro^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDJulio César Quintana-Zaez^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^iDMaiquel Lopez-Silva^IIUniversidad Ricardo Palma, Lima, Perú.

^IUniversidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez (UNICA), Ciego de Ávila, Provincia Ciego de Ávila, Cuba.

^IIUniversidad Ricardo Palma, Lima, Perú.

^*Author for correspondence: Rider Riveras-Hernaandez, e-mail: rider@unica.cu

RESUMEN

La regresión polinómica es una herramienta útil para la modelación de problemas relacionados con la predicción de presiones a lo largo de una tubería con salidas múltiples en sistemas de riego presurizado. La característica fundamental de este modelo es su simplicidad para pronosticar datos de presión en una tubería de riego y extender el número de observaciones. En la investigación se desarrollaron modelos en los que se relacionó la presión a lo largo de la tubería con diferentes variables independientes como el caudal en cada salida y la sumatoria de los espaciamientos entre salidas desde el inicio de la tubería. La validación del modelo se realizó a partir de datos utilizados para la estimación y el pronóstico, mediante el coeficiente de determinación (R²) que es un indicador recomendado para medir la fiabilidad del modelo y el error porcentual medio ampliamente utilizado para medir el desempeño del modelo. Como caso de estudio se utilizó un sistema de riego de pivote central eléctrico en el cultivo de la caña de azúcar, donde el modelo más apropiado fue del tipo polinómico de segundo orden y decreciente, el cual logró una excelente aproximación al comportamiento real de los datos, con un R² de 0,9972 y un error porcentual medio inferior al 12%.

Palabras clave:

regresión polinómica, tuberías de múltiples salidas, sistemas de riego presurizados

INTRODUCCIÓN

⌅

Los crecientes niveles de competitividad en el mercado agrícola actual han motivado la imperiosa necesidad de optimizar los recursos empleados en los sistemas productivos como es el caso del agua utilizada en la agricultura según Pérez-Armas et al. (2020)PÉREZ-ARMAS, R.; FERNÁNDEZ-MASS, R.; HERNÁNDEZ-HERNÁNDEZ, H.; PONCE-RANCEL, L.: “Uniformidad del riego de las Máquinas de Pivote 4 y 9 de la Empresa Agropecuaria Horquita”, Revista Científica Agroecosistemas, 8(3): 70-76, 2020, ISSN: 2415-2862. que es el usuario que consume el 85% del agua en el planeta. Como una media para atenuar esta problemática se han desarrollado diferentes sistemas para su ahorro, sustentado en su mejor aprovechamiento y la utilización de tecnologías más eficientes; pues la escasez de agua y el inadecuado empleo de los sistemas de riego generan mayores costos de producción a los agricultores (Guijarro-Rodríguez et al., 2018GUIJARRO-RODRÍGUEZ, A.A.; CEVALLOS-TORRES, L.; PRECIADO-MAILA, D.K.; ZAMBRANO-MANZUR, B.N.: “Sistema de riego automatizado con Arduino”, Sistema, 39(37): 27, 2018, ISSN: 0798-1015.; Barrezueta-Unda et al., 2020BARREZUETA-UNDA, C.S.; BURBANO-BUSTOS, A.F.; SALGADO-ORDOSGOITIA, R.D.; MERLANO-PORTO, R.H.: “Control de riego en cultivos de ahuyama en Sincelejo, Sucre (Colombia) gestionados a través del Internet de las Cosas”, Información tecnológica, 31(5): 79-88, 2020, ISSN: 0718-0764, Publisher: SciELO Chile, DOI: http://dx.doi.org/10.4067/S0718-07642020000500079.).

La técnica de riego presurizado tiene un gran impacto en el uso racional del agua, debido a los insumos que se emplean y su adecuado funcionamiento, que permite reducir la cantidad de agua utilizada lo que significa una contribución a la optimización del consumo de agua sin provocar estrés hídrico en los cultivos (Meneses-Rojas y Sulca-Castilla, 2020MENESES-ROJAS, R.A.; SULCA-CASTILLA, O.: “Régimen de riego del cultivo de palto en valle rio Pampas Apurímac-Ayacucho 2019”, Investigación, 28(1): 73-81, 2020, ISSN: 2709-8583, DOI: https://doi.org/10.51440/unsch.revistainvestigacion.28.1.2020.358.).

En los sistemas de riego presurizado el agua se conduce a través de tuberías con cierta presión para que pueda llegar a las plantas por medio de los emisores que pueden ser goteros, aspersores, micro aspersores, etc. Estos dispositivos permiten además la aplicación de fertilizantes con el agua de riego con una elevada eficiencia de aplicación de agua en dependencia del tipo de emisor (Calejo et al., 2008CALEJO, M.; LAMADDALENA, N.; TEIXEIRA, J.; PEREIRA, L.S.: “Performance analysis of pressurized irrigation systems operating on-demand using flow-driven simulation models”, Agricultural water management, 95(2): 154-162, 2008, ISSN: 0378-3774, Publisher: Elsevier.; Attia et al., 2019ATTIA, S.S.; EL-GINDY, A.; MANSOUR, H.; KALIL, S.E.; ARAFA, Y.E.: “Performance analysis of pressurized irrigation systems using simulation model technique”, Plant Archives, 19(Supplement 1): 721-731, 2019, ISSN: 0972-5210.).

Entre los sistemas de riego presurizados más utilizados en el mundo se encuentran las máquinas de pivote central eléctricas las cuales permiten un notable ahorro de agua y energía al compararse con otras técnicas de riego como la aspersión tradicional y los pivotes de accionamiento hidráulico (Pérez-Armas et al., 2020PÉREZ-ARMAS, R.; FERNÁNDEZ-MASS, R.; HERNÁNDEZ-HERNÁNDEZ, H.; PONCE-RANCEL, L.: “Uniformidad del riego de las Máquinas de Pivote 4 y 9 de la Empresa Agropecuaria Horquita”, Revista Científica Agroecosistemas, 8(3): 70-76, 2020, ISSN: 2415-2862.).

El diseño adecuado de los sistemas de riego presurizado está estrechamente relacionado con el correcto funcionamiento y la alta eficiencia en el uso del agua (Del Río-San José et al., 2019DEL RÍO-SAN JOSÉ, J.; REQUE-KILCHENMANN, J.A.; MARTÍNEZ-DE AZAGRA PAREDES, A.: “Evaluación comparativa de la eficiencia técnica de los sistemas de riego de brinzales”, Cuadernos de la Sociedad Española de Ciencias Forestales, (45): 219-230, 2019, ISSN: 1575-2410, Publisher: Sociedad Española de Ciencias Forestales, DOI: https://doi.org/10.31167/csecfv2i45.19516.). Los laterales de estos sistemas frecuentemente están compuestos por tuberías de múltiples salidas, lo que hace más complejo el diseño hidráulico de dichas tuberías (González-Quirino et al., 2021GONZÁLEZ-QUIRINO, J.G.; ACEVEDO-DARIAS, M.; PRECIADO-RANGEL, P.; YESCAS-CORONADO, P.; BARRIOS-DÍAZ, J.M.; REYES-GONZÁLEZ, A.: “Ecuación determinística para el diseño hidráulico de sistemas de riego por salidas múltiples”, Revista mexicana de ciencias agrícolas, 12(5): 777-789, 2021, ISSN: 2007-0934, Publisher: Instituto Nacional de Investigaciones Forestales, Agrícolas y Pecuarias.).

La hidráulica de las tuberías que distribuyen el caudal de los sistemas de riego presurizados es un asunto que no ha sido aun suficientemente resuelto debido a que es un problema complejo por tratarse de procesos altamente no lineales e involucra a diversos parámetros y principios físicos como la conservación de la materia y la energía en fluidos en movimiento (Riveras y Mujica-Cervantes, 2012RIVERAS, R.; MUJICA-CERVANTES, A.: ““DITMUSA” Software para el diseño de sistemas de tuberías dotadas de múltiples salidas”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 21: 63-68, 2012, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054, Publisher: Universidad Agraria de La Habana.; Alegret y Martínez, 2019ALEGRET-, E.; MARTÍNEZ, Y.: “Coeficiente de Hazen-Williams en función del número de Reynolds y la rugosidad relativa”, Ingeniería Hidráulica y Ambiental, 40(3): 41-55, 2019, ISSN: 1680-0338.).

Para la obtención experimental de variables de diseño y manejo de sistemas de irrigación pueden utilizarse modelos de regresión, los cuales se han convertido en una herramienta esencial para el manejo integral del recurso hídrico y del medio ambiente, la predicción espacial de la precipitación en cuencas hidrográficas y el diseño y manejo de sistemas de riego agrícola. Una vez calibrados en las condiciones específicas en que fueron desarrollados, se convierten en una alternativa valiosa aplicables a los sistemas de riego presurizados y por gravedad (Álvarez-Sevilla et al., 2021ÁLVAREZ-SEVILLA, I.; BROWN-MANRIQUE, O.; DEL CID-COLINDRES, E.P.: “Modelos matemáticos para la estimación de variables hidroagrícolas en el diseño de sistemas de riego/Mathematical models for the estimation of hydro agricultural variables in the irrigation systems design”, Universidad & ciencia, 10(3): 99-112, 2021, ISSN: 2227-2690.). Estos modelos son aplicables en la modelación de problemas relacionados con el pronóstico de parámetros en sistemas de riego debido a su simplicidad y capacidad para pronosticar las variables involucradas.

Teniendo en cuenta los aspectos expresado anteriormente, el objetivo del trabajo consiste en desarrollar un modelo matemático teórico experimental que permita el mejoramiento del manejo de máquinas de pivote central eléctricas las cuales presentan una tubería distribuidora dotada de múltiples salidas.

MATERIALES Y MÉTODOS

⌅

La investigación se realizó en la Cooperativa de Producción Agropecuaria Revolución de Etiopia ubicada en la coordenada 21°50´20’’N y 78°39´06’’W, Carretera Morón, a dos kilómetros del poblado de Santana. En esta cooperativa funcionan actualmente siete máquinas de pivote central eléctricas que riegan un área de 5,65.10⁶ m² (Figura 1).

FIGURA 1. Ubicación de la máquina de pivote central eléctrica.

La máquina de pivote central eléctrica evaluada es de la marca BAYATUSA-WESTERN instalada para el riego de la caña de azúcar y presenta la característica siguiente: presión de trabajo de 250 kPa, tubería de riego de zinc galvanizado, longitud total del lateral de 502 m, diámetro del lateral de 168,3 mm, diámetro del pívot es de 200 mm, nueve torres de 55 m. Cada tramo tiene 19 aspersores excepto el primero que cuenta con 14 aspersores. La máquina tiene un total de 166 aspersores de diferentes diámetros del tipo Spray espaciados a 3 m (Tabla 1 y Figura 2).

TABLA 1. Características técnicas de la máquina de pivote central eléctrica

Marca	BAYATUSA-WESTERN
Presión de trabajo	250 kPa
Tubería de riego	Zinc galvanizado
Longitud total del lateral	502 m
Diámetro del lateral	168,3 mm
Diámetro del pívot	200 mm
Número de torres	9
Número total de aspersores	166

FIGURA 2. Máquina de pivote central eléctrica BAYATUSA-WESTERN.

El experimento comenzó con el traslado de la máquina de riego hacia el camino que separa los campos cultivados con una velocidad de 2,57 m min^-1 en la última torre. La presión de trabajo promedio durante la prueba fue de 250 kPa. El proceso experimental se basó en la medición de la velocidad del viento con un anemómetro integral de cazoletas calibrado de la marca ΓOCT 7193-74 M/C y precisión de ±0,10 m s^-1, la presión en el manómetro metálico de Bourdon de la marca DeWit con presión de 60,0 psi (413,7 kPa) y precisión de 0,90 psi (20 kPa) colocado en el pívot y el caudal en todos los aspersores mediante el método de aforo volumétrico según Cisneros-Zayas et al. (2019)CISNEROS-ZAYAS, E.; VENERO-DELGADO, Y.; PLACERES-MIRANDA, Z.; GONZÁLEZ-ROBAINA, F.: “El viento y su influencia en los parámetros de calidad del riego”, Ingeniería Agrícola, 9(4), 2019, ISSN: 2227-8761.; Catalán-López (2022)CATALÁN-LÓPEZ, J.R.: “Análisis del efecto de uso de trituradores de desechos de comida en la calidad del agua residual”, Agua, Saneamiento & Ambiente, 17(2): 31-40, 2022, ISSN: 2224-9958. a partir del cual se captó el volumen descargado en un recipiente de 10 L en un tiempo determinado. Los instrumentos de medición utilizados fueron una probeta graduada de 500 mL con precisión de un mililitro y un cronómetro digital Timer & Counter con precisión hasta los segundos (Figura 3).

FIGURA 3. Aforo volumétrico de los aspersores.

Como resultados del experimento se desarrollaron diferentes modelos estadísticos matemáticos para relacionar la presión a lo largo de la tubería con diferentes variables independientes como el caudal en cada salida y la sumatoria de los espaciamientos entre salidas desde el inicio de la tubería. La validación del modelo se realizó a partir de datos utilizados para la estimación y el pronóstico, mediante el coeficiente de determinación (R²) que es un indicador recomendado para medir la fiabilidad del modelo y el error porcentual medio (E _pm ) ampliamente utilizado para medir el desempeño del modelo; este se estimó mediante la ecuación siguiente: El modelo se acepta cuando e l E _pm ≤ 20%

RESULTADO Y DISCUSIÓN

⌅

Desarrollo del modelo teórico experimental para estimar la presión en las salidas del lateral

⌅

El procedimiento para el desarrollo del modelo teórico experimental fue desarrollado con el propósito de estimar la presión en cada salida de la tubería de riego en la máquina de pivote central eléctrica y se implementó de forma progresiva, segmento a segmento desde el manómetro al inicio del sistema hasta el final del lateral. En este nuevo procedimiento se tuvieron en cuenta los principios físicos de conservación de la masa y conservación de la energía.

El principio de conservación de la masa se aplicó en esta investigación para la cuantificación del caudal a la entrada del lateral y su variación a lo largo de la línea regante, teniendo en cuenta que el caudal que entra por un extremo de la tubería tiene que ser igual al caudal que sale según Riaño-Valle (2021)RIAÑO-VALLE, F.: “Los aportes de Leonhard Euler al desarrollo de la Hidráulica”, Ingeniería Hidráulica y Ambiental, 42(3): 82-102, 2021, ISSN: 2788-6050, e-ISSN: 1680-0338.; lo que constituye el punto de partida del modelo propuesto para el mejoramiento del manejo de máquinas de pivote central eléctricas y se expresa mediante la ecuación de continuidad.

El principio de conservación de la energía se utilizó mediante el balance energético aplicado primeramente entre la altura del manómetro colocado en el pivote y el codo giratorio; posteriormente entre este punto y todas las salidas a lo largo de la tubería de riego. Este principio se materializó a través de la ecuación de Bernoulli el cual establece una relación inversa entre la energía que circula por el conducto y la velocidad (Vega-Calderón et al., 2017VEGA-CALDERÓN, F.; GALLEGOS-CÁZARES, L.; FLORES-CAMACHO, F.: “Dificultades conceptuales para la comprensión de la ecuación de Bernoulli”, Revista Eureka sobre Enseñanza y Divulgación de las Ciencias, 14(2): 339-352, 2017, ISSN: 1697-011X, Publisher: Universidad de Cádiz/Asociación de Profesores Amigos de la Ciencia Eureka.).

El caudal a la entrada del lateral de la máquina de pivote se determinó mediante la suma de los caudales descargado por cada aspersor a partir de la siguiente ecuación:

Q_{0} = \sum_{i = 1}^{i = N} q_{i}

(1)

Donde Q ₀ es el caudal total del lateral (L s^-1); q _{i el} caudal que sale por cada aspersor (L s^-1); N el número total de salida del lateral; i el índice que expresa la cantidad de emisores evaluados (i = 1, 2, …, 166).

El caudal total del lateral a medida que circula por cada tramo de la tubería va disminuyendo por el efecto combinado de la perdida de energía y la derivación del caudal q _i en cada salida; como se expresa en la siguiente ecuación:

Q_{i} = Q_{i - 1} - q_{i}

(2)

Donde Q _i es el caudal de circulación por cada tramo (L s^-1); Q _i-1 es el caudal de circulación en el tramo anterior (L s^-1); q _i el caudal que sale por cada aspersor (L s^-1); i el índice que expresa la cantidad de emisores evaluados (i = 1, 2, …, 166).

Para el cálculo de la presión en el primer tramo entre el punto ubicado en el manómetro del pivote (M) y el punto colocado en el codo giratorio (C), donde comienza el inicio del lateral de la máquina de pivote, se expone la ecuación de Bernoulli, la cual está dada por:

\frac{P_{M}}{γ} + \frac{v_{M} ²}{2 g} + Z_{M} = \frac{P_{C}}{γ} + \frac{v_{C}^{²}}{2 g} + Z_{C} + \sum {h_{M - C}}_{}

(3)

Donde P _M es el valor de la presión registrada en el manómetro colocado en el pivote (kg·m^-1·s^-2); v _M la velocidad en el primer tramo (m·s^-1); Z _M la altura del manómetro considerada cero por ser el punto por donde se traza el nivel de referencia para el balance de energía (m); Ʃh la sumatoria de las pérdidas de carga por fricción y localizadas (m); γ el peso específico del agua (kg·m^-2·s^-2); g la aceleración de la gravedad (m·s^-2).

Para el cálculo de la carga de presión en el punto C se despejó este término en la ecuación (5) $v = \frac{4 ∙ Q}{π ∙ D^{2}}$ , considerando que se trata de una tubería sin derivaciones; por lo que el caudal es constante en toda la longitud del tramo analizado. En este primer tramo las velocidades se simplifican; por lo que se obtiene la siguiente ecuación:

\frac{P_{C}}{γ} = \frac{P_{M}}{γ} + Z_{M} - Z_{C} - \sum h_{M - C}

(4)

A partir de la primera salida del lateral, el diámetro se mantiene constante; pero el caudal varía debido a que se trata de una tubería de múltiples salidas; por tanto, se debe tener en cuenta la velocidad en el análisis de cada tramo. En todos los casos la velocidad del fluido se calculó por el método de la velocidad económica a través de la siguiente ecuación:

v = \frac{4 ∙ Q}{π ∙ D^{2}}

(5)

Donde v es la velocidad del flujo; Q el caudal total del lateral (m³ s^-1); D el diámetro del lateral (m).

Para el cálculo de la carga de presión en cada salida se utiliza ecuación siguiente:

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{v_{i - 1} ²}{2 g} + Z_{i - 1} - \frac{v_{i}^{2}}{2 g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(6)

Donde P _i es el valor de la presión en cada salida del lateral (kg·m^-1·s^-2); v _i-1 la velocidad del flujo en el tramo anterior (m·s^-1); Z _i-1 la altura de la tubería en la salida anterior sobre el nivel de referencia (m); v _i la velocidad del flujo en el tramo actual (m·s^-1); Z _i la altura de la tubería en la salida actual sobre el nivel de referencia (m); Ʃh _(i-1)-i la sumatoria de las pérdidas de carga por fricción y localizadas entre las dos salidas analizadas (m); γ el peso específico del agua (kg m^-2 s^-2); g la aceleración de la gravedad (m·s^-2).

Sustituyendo la ecuación (7) $\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i - 1}}{π ∙ D_{i - 1}^{2}})}^{2}}{2 g} + Z_{i - 1} - \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i}}{π ∙ D_{i}^{2}})}^{2}}{2 g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}$ en la (8) $\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{8 Q_{i - 1}^{2}}{π^{2} . D_{i - 1}^{4} . g} + Z_{i - 1} - \frac{8 Q_{i}^{2}}{π^{2} . D_{i}^{4} . g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}$ se logra que la ecuación quede sólo en función del caudal.

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i - 1}}{π ∙ D_{i - 1}^{2}})}^{2}}{2 g} + Z_{i - 1} - \frac{{(\frac{4 ∙ Q_{i}}{π ∙ D_{i}^{2}})}^{2}}{2 g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(7)

Simplificando la ecuación anterior se obtiene:

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{8 Q_{i - 1}^{2}}{π^{2} . D_{i - 1}^{4} . g} + Z_{i - 1} - \frac{8 Q_{i}^{2}}{π^{2} . D_{i}^{4} . g} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(8)

Sacando factor común, se obtiene la expresión siguiente:

\frac{P_{i}}{γ} = \frac{P_{i - 1}}{γ} + \frac{8}{π^{2} . g} (\frac{Q_{i - 1}^{2}}{D_{i - 1}^{4}} - \frac{Q_{i}^{2}}{D_{i}^{4}}) + Z_{i - 1} - Z_{i} - \sum h_{(i - 1) - i}

(9)

La expresión anterior es la ecuación general para la estimación de las presiones en todas las salidas de la tubería lateral de una máquina de pivote central eléctrica. Esta formulación analítica se desarrolló desarrolla tramo a tramo desde el inicio de la tubería hasta el final. Para aplicar esta ecuación es necesario conocer las pérdidas de carga por cada tramo entre salidas, la cual se determinan por la ecuación de Darcy-Weisbach,

El cálculo del factor de fricción se realizó mediante la ecuación de Swamee-Jain según Caparicona-Marca (2020)CAPARICONA-MARCA, J.J.: “Elaboración de un programa informático de aplicación para diseño agronómico e hidráulico en el método de riego por goteo”, Apthapi, 6(2): 1935-1953, 2020, ISSN: 2519-9382. en caso que el flujo fuera turbulento. Cundo el flujo fuera laminar, se utilizó la ecuación de Poiseuille (Ladino-Moreno et al., 2019LADINO-MORENO, E.O.; UBAQUE, C.A.; GARCÍA-VACA, M.C.: “Determinación del coeficiente de resistencia de Darcy-Weisbach utilizando el enfoque Newton-Raphson para android 4.0”, Tecnura: Tecnología y Cultura Afirmando el Conocimiento, 23(60): 52-58, 2019, ISSN: 0123-921X, Publisher: Universidad Distrital Francisco José de Caldas, DOI: https://doi.org/10.14483/22487638.1 4929.).

f = \frac{0.25}{{[\log (\frac{\frac{ε}{D}}{3.7} + \frac{5.74}{{N R}_{i}^{0.9}})]}^{2}}

(10)

f_{i} = \frac{64}{{N R}_{i}}

(11)

Donde ε es la rugosidad absoluta (m); D el diámetro de la tubería lateral (m); NR _i el número de Reynolds en cada tramo (adimensional).

Desarrollo del modelo estadístico de regresión

⌅

La ecuación general para la estimación de las presiones en todas las salidas de la tubería lateral, se aplicó en la máquina de pivote central eléctrica de la marca BAYATUSA-WESTERN instalada para el riego de la caña de azúcar, Obteniéndose diferentes modelos de tipo exponencial y polinómicos que se muestran a continuación.

En la Figura 4 se muestra la curva que relaciona las presiones en cada salida de la tubería lateral con del caudal de cada salida, la cual se ajusta de forma satisfactoria al modelo exponencial con un alto coeficiente de determinación (R ² ) de 0,9526 y un error porcentual medio de (E _pm ) de 1,30 % lo que indica su alta confiabilidad para utilizarse con fines de pronósticos. La ecuación encontrada fue:

P_{i} = 25,395 e^{- 1,361 q_{i}}

(12)

FIGURA 4. Comportamiento de la presión en función del caudal de salida

En la Figura 5 se muestra la curva que relaciona las presiones en cada salida de la tubería lateral con la sumatoria de espaciamiento entre salidas, la cual se ajusta de forma satisfactoria al modelo polinomial de grado dos, con un alto coeficiente de determinación (R ² ) de 0,9982 y un error porcentual medio de (E _pm ) de 0,50 % lo que indica su alta confiabilidad para utilizarse con fines de pronósticos. La ecuación encontrada fue:

P_{i} = 0,00003 ({Ʃ E}^{2}) - 0,0249 (Ʃ E) + 23,458

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FIGURA 5. Comportamiento de la presión en función de la sumatoria de espaciamiento entre salidas

En la Figura 6 se muestra la curva que relaciona las presiones en cada salida de la tubería lateral con el caudal de circulación de cada tramo, la cual se ajusta de forma satisfactoria al modelo polinomial de grado dos, con un alto coeficiente de determinación (R ² ) de 0,9524 y un error porcentual medio de (E _pm ) de 1,04 % lo que indica su alta confiabilidad para utilizarse con fines de pronósticos. La ecuación encontrada fue:

P_{i} = 0,0091 Q_{i}^{2} - 0,1767 Q_{i} + 19,136

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FIGURA 6. Comportamiento de la presión en función del caudal de circulación en cada tramo.

CONCLUSIONES

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Se logra desarrollar un modelo matemático basado en mediciones de campo, para el diseño hidráulico de tuberías de múltiples salidas de un sistema de riego de pivote central eléctrico para el cultivo de la caña de azúcar, que permitió estimar el comportamiento de la presión en función del caudal de salida P _i =f(q _i ), la sumatoria del espaciamiento entre salidas P _i = f(ƩE _i ) y el caudal de circulación en cada tramo P _i =f(Q _i ).
El modelo desarrollado para estimar la presión en función de las sumatoria del espaciamiento entre salidas, de los caudales de circulación y de salida, cuenta con una alta fiabilidad debido a que el coeficiente de determinación (R ² ) es superior a 0,95 en todos los casos analizados.
Los errores porcentuales medio arrojados por las tres curvas se encuentran en el rango establecido para ser aceptable, siendo los valores 1,30%; 0,50% y 1,04% menores que el 20% respectivamente.

AGRADECIMIENTOS

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Los autores de este documento agradecen al Departamento de Ingeniería Hidráulica (DIH) de la Universidad de Ciego de Ávila Máximo Gómez Báez por haber apoyado y garantizado el desarrollo de esta investigación que es de gran importancia para el uso eficiente del agua y el aumento de la producción de alimentos, a la Cooperativa de Producción Agropecuaria Revolución de Etiopia por el apoyo brindado en las evaluaciones de campo.