This method was used to determine the mill size in the BM-Crush Program. The mill diameter was obtained with Equation 1$D={\left[\frac{{0.94*P}_a}{K_B{\left(J\right)}^{0.461}{\left({\varphi }_c\right)}^{1.505}\left(\frac{L}{D}\right)}\right]}^{\frac{1}{3.5}}$. The length depends on the ratio (Length/Diameter, L/D) that was supposed from the beginning of the calculations. K _B is a constant which is equal to 4.456x10^-5 for dry milling and Φ _c is the critical velocity.

The mechanical power P _a was obtained with Equation 2$P_a=10w_i\frac{1}{0.907}\left[\frac{1}{d_{80}}-\frac{1}{D_{80}}\right]*C$, given by Bond, where; (d ₈₀ and D ₈₀ ) are the particle size at the beginning and at the end of the mill process, respectively. They are expressed in meters. C is the capacity of the mill in tons/hour (Duda, 2003DUDA, W.H.: Manual tecnológico del cemento, Ed. Reverte, México, DF, 352 p., 2003, ISBN: 978-84-7146-095-0.).

The Bond index (w _iD ) must be adjusted by means of (w _i ) for other operating conditions using Equation 3$wi=KjwiD$, where K _j depends on diverse factors that can be obtained from tables and other numerical procedures (Duda, 2003DUDA, W.H.: Manual tecnológico del cemento, Ed. Reverte, México, DF, 352 p., 2003, ISBN: 978-84-7146-095-0.; Wills, 2006WILLS, B.: Wills’ Mineral Processing Technology: An Introduction to the Practical Aspects of Ore Treatment and Mineral Recovery, Ed. Butterworth Hein, 2006, ISBN: 978-0-08-097054-7.; Neikov et al., 2009NEIKOV, O.D.; MURASHOVA, I.B.; YEFIMOV, N.A.; NABOYCHENKO, S.: Handbook of Non-Ferrous Metal Powders: Technologies and Applications, Ed. Elsevier, USA, 644 p., 2009, ISBN: 978-0-08-055940-7.).

w _iD depends on the diameter of the ball mill and it is corrected with equation 4$W_{iD}=\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{{\left[\frac{2.44}{D}\right]}^{0.2}D\le 3.81m}{0.914D>3.81m}\right.$.

Finally, the maximum size of the balls was determined by the following expression developed by Bond (Equation 5$d_{B1}=25.4\left[{\left(\frac{D_{80}}{cbm}\right)}^{1/2}{\left(\frac{{\rho }_s{w}_i}{100{\phi }_c{\left(3.281D\right)}^2}\right)}^{1/3}\right]\left[mm\right]$) (Wills, 2006WILLS, B.: Wills’ Mineral Processing Technology: An Introduction to the Practical Aspects of Ore Treatment and Mineral Recovery, Ed. Butterworth Hein, 2006, ISBN: 978-0-08-097054-7.).

where:

The initial operating conditions (Table 2) for sizing mill (length, diameter, velocity, mechanical power, size, distribution of steel balls and dry milling) were obtained using the flowchart that shown in the Figures 2 and 3.

The analytical study of the impact forces considered in this paper was based on the principle of work-energy. In Figure 1, the mass m falls from its initial position until the spring is deformed to a certain length δ _m , reaching a momentary stop. Subsequently, the potential energy of spring is released taking as a baseline the lowest position of mass m, the equation of the energy balance is:

where, k _r is the spring stiffness, g is equal to 9.81 m/s², P is the weight of the body and h is the height of fall of the body.

Solving this quadratic equation and taking only the positive root:

The term P/k _r is the spring deflection under static load which can be replaced by the static deformation δ _st , leaving the following equation.

Finally, the dynamic load coefficient (Equation 10${Kd}_i=1+\sqrt{1+\frac{2h}{{\delta }_{st}}}$) is obtained by making δ _st = 1. It is valid in the elastic range. In this case, it was necessary to represent the dynamic load coefficient in function of the velocity of the ball (Equation 11${Kd}_i=1+\sqrt{1+\frac{v_{fi}^2}{{g\delta }_{st}}}$). These equations are like those presented by Budynas & Nisbett (2015)BUDYNAS, R.G.; NISBETT, J.K.: Shigley’s Mechanical Engineering Design, Ed. Mc Graw-Hill, México, DF, 2015, ISBN: 13: 978-0073398204..

The velocity of the impact (V _fi ) is obtained by the following equation:

with;

where, N ² is 43.89 rpm, $sen\left(\phi \right)$ represents the camber angle and, finally, r is the radius of the mill. In this case, it is 0.297 m.

The maximum deflection due to static conditions must be calculated in order to determine the dynamic impact factor. For the determination of the design parameters, the BM-Crush Program was initially developed by Ocampo et al. (2015OCAMPO, A.; HERNÁNDEZ, L.H.; URRIOLAGOITIA, G.; FERNÁNDEZ, D.; CERVANTES, R.; FERNÁNDEZ, D.: “Diseño de un Molino para Reciclar Pastas de Freno de Tracto-Camiones Usando el Método de Bond”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 24(3): 45-51, 2015, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054., 2016OCAMPO, A.; HERNÁNDEZ, L.H.; URRIOLAGOITIA, G.; FERNÁNDEZ, D.; FERNÁNDEZ, D.; CERVANTES, R.: “Evaluación de la Integridad Estructural de un Molino de Bolas en Condiciones Estáticas y Dinámicas Usando el Método del Elemento Finito (MEF)”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias , 25(2): 5-16, 2016, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054.). It is based on the equations developed by Bond (1960)BOND, F.C.: “Crushing and Grinding Calculations”, British Chemical Engineering, 6(1): 378-391, 543-548, 1960, ISSN: 0007-0424. and Wang et al. (2014)WANG, Y.; ZHANG, Z.; XU, Y.; XI, Y.: Tensile Fracture Simulation in Rock Using Augmented Virtual Internal Bond Method, Rock Mechanics and Its Applications in Civil, Mining and Petroleum Engineering, Ed. American Society of Civil Engineers, 13-19 p., 2014, ISBN: 978-0-7844-1339.. Its purpose is to calculate the dimensions of the mill, the rotational speed, the number and size of balls and their thickness. These parameters were the initial conditions in the numerical analysis using the Finite Elements Method. The flowchart of the code is illustrated in Figure 2. A subroutine that estimates the magnitude of the impact has been added in this paper (Figure 3).

The Finite Elements Method (FEM) was used to evaluate the dynamic stresses in the internal walls of the ball mill. The initial conditions were carried out through the development of a numerical program implemented in a Matlab code. Table 3 shows the design parameters estimated in accordance with the flowchart of the program BM-Crush (Figure 2), considering the conditions set out in Table 3. Structural Steel was considered in all the analysis. Its Young´s modulus and Poisson were 260 MPa and 0.3, respectively.

The Mooney Rivlin formulation was used. It is based on a linear combination of two constants (C ₁ =1.65 MPa and C ₂ =-0.44 MPa), described as a function of strain energy. These constants were obtained experimentally following the methodology available in the open literature (Wood, 1977WOOD, A.L.: “Uniaxial Extension and Compression in Stress-Strain Relations of Rubber”, Journal of Research of the National Bureau of Standards, 82: 57 - 63, 1977, ISSN: 0160-1741.; Yu & Zhao, 2008YU, Y.S.; ZHAO, Y.P.: “Deformation of PDMS Membrane and Micro-cantilever by a Water Droplet: Comparison between Mooney-Rivlin and Linear Elastic Constitutive Models”, Journal of Colloid and Interface Science, 332: 467-476, 2008, ISSN: 0021-9797.).

Two cases were analyzed: (1). In first instance, two FEM models were developed using one half of the ball mill. In the first one, the impact of a single ball over the inner wall was simulated. Three different wall thicknesses were evaluated. In the second model, the simulation was done when ninety balls impacted the inner wall simultaneously. A single thickness was selected from previous model; (2). In the second case, two additional FEM analyses were developed. One eighth of the complete ball mill model was considered. The first evaluation was done without any coating and, in the second one, the structural integrity of the mill with a rubber coating was evaluated, which contributes greatly to the mitigation of dynamic stress. The thickness of this coating was 3mm.

Once those operation parameters were determined, the three preliminary numerical simulations were performed (model 1 of the first case). The purpose was the evaluation of the dynamic stress field on the mill wall. Three different thicknesses (12.7 mm, 15.9 mm and 19.1 mm.) were evaluated. In accordance with the results, the thickness of 12.7 mm was chosen, since the stress is within the elastic range. More detailed analyses were carried out. The transient stress field was obtained, when ninety balls impact simultaneously on the inner wall. In accordance with the requirements of the milling process and the calculation made with the Bond Method, it was estimated that 900 steel balls were required (Ocampo et al., 2015OCAMPO, A.; HERNÁNDEZ, L.H.; URRIOLAGOITIA, G.; FERNÁNDEZ, D.; CERVANTES, R.; FERNÁNDEZ, D.: “Diseño de un Molino para Reciclar Pastas de Freno de Tracto-Camiones Usando el Método de Bond”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 24(3): 45-51, 2015, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054.). Based on experimental and numerical tests (Sun et al., 2009SUN, Y.; DONG, M.; MAO, Y.; FAN, D.: “Analysis on Grinding media Motion in Ball Mill by Discrete Element Method”, En: 1st International Conference on Manufacturing Engineering, Quality and Production Systems I, pp. 227-231, 2009.), a critical condition is developed when 90 steel balls fall at the same time. For this reason, this situation was considered in the stress analysis.

The relevant parameters of the finite element evaluations are summarized in Table 4.

In a second step, the stress field, when a ball impacts the internal wall, was evaluated. Such wall was uncoated. Finally, the performance of a coated internal wall was evaluated. Such coating was made of rubber and its thickness was 3 mm. The general procedure of this methodology is shown in Figure 3. All the stress analyses were done with ANSYS-LS-Dyna Code Ver. 2020. and BM-Crush Program. Figures 4, 5 and 6 show the boundary conditions.

In the first evaluation of case one (Figures 4 and 5), the stress field was obtained when a single ball impacted the center of the model. As the geometry of the cylindrical part is symmetric, only one half was modelled with Shell 163 elements, in order to save computational resources. Their edges were fixed.

The initial velocity of the ball was 3.43 m/s. For all cases, the inner radius of the ball mill was of 297 mm and the thickness was varied (12.7 mm, 15.9 mm, and 19.1 mm.) (Figure 4). This result was compared analytically.

In the next analysis, the dimension of the dominium of analysis was the same as the one mentioned above. The edges were fixed. The structural integrity was evaluated when the wall of the mill was impacted with 90 steel balls simultaneously (Figure 5). The velocity of the balls was 3.453 m/s.

For both models of case two (Figures 6(a) and (b)), the initial velocity of the ball and the element type selected were 3.46 m/s and Solid 164, respectively. Besides, the symmetry of the geometry studied was taken into account and only one eight was evaluated. In the first evaluation, the metallic wall was only considered as shown in Figure 6a.

The second case evaluated the mitigation of the transient stresses over the internal wall of the ball mill. For this purpose, a rubber coating was considered. Its thickness was 3 mm and it was considered as a hyper elastic model (Figure 6b). Since the assessed stress is a localized phenomenon, it was considered that the stiffness does not greatly affect the results, when a model of one-half and one-eighth of the ball mill was used.

The thickness of the inner wall plays an important role. As it was increased, the stresses were reduced. The lowest von Mises equivalent stress (110 MPa) was obtained when a plate of 19.1 mm was used. However, it was decided to use a plate of 12.7 mm, because it makes easier the mill manufacture. In this case, the peak stress (142 MPa) must be mitigated (Figure 7). The stress is considered between the instant impact on the inner wall of the mill and when the relative velocity between the bodies is zero. It is in this time that the maximum stress is obtained.

The stress field is reduced when wall thickness is increased. In all the analyzed cases, the yield stress (260 MPa) was not exceeded. The variation of the peak stresses with respect to the thickness is illustrated in Figure 8.

During the mill process, several balls impact the inner wall simultaneously following a random pattern. This situation is difficult to model. The diameter and weight of each one of the balls were 50 mm and 0.514 kg, respectively. The severity of this loading condition was evaluated without any coating. In this case, the distribution of the stresses shown is divided into small periods of time (Figure 9a-Figure 9f) where the stress is maximum for each impact of 90 steel balls, after the relative velocity between mill wall and balls is zero. It can be seen in Figure 9g-Figure 9l that stresses are spread creating areas of high stress concentrations that are located in the mill border.

The results showed that the peak stresses were around 194 MPa, as shown in Figure 10.

The simultaneous impact of the steel balls on the internal wall of the mill, generated significant stress, when the plate thickness was 12.7 mm. The maximum stress was 169 MPa. It resulted from the propagation of the stress waves. Figure 11 shows the stress field around the impact area. However, a transient von Mises peak stresses is also shown. It was 194 MPa and is the 75% of yield stress. It was estimated that the peak stresses take place around 2400 times in one hour.

The impact of a ball over the internal wall (thickness 12.7mm.) was simulated (Figure 12). Only one eighth of the complete cylindrical wall of the mill was evaluated. It was expected that this reduced model will give simplified data about the impact process. At the same time, computation time is saved. The final evaluation was not affected, when the maximum von Mises stress was obtained in the contact area. In other words, this transient stress field is generated at every impact point. Such field is generated randomly on the inner wall. Therefore, the idea is to evaluate the transitory stress field at every point, which takes place repetitively during the milling process.

This approach also increased the possibility to generate a finer mesh on point of impact over the inner wall. In this circumstance, the maximum stress of the von Mises was 115 MPa. Differences between the stresses of 142 MPa and 115 MPa are due to the size of ball used (r ₁ = 32 mm) and (r ₂ = 25 mm). The purpose was to observe the stresses distribution, when the size of the balls was changed.

In order to minimize the effect of cyclic stresses, it was proposed to cover the inner mill walls with a 3 mm rubber layer. This will absorb and dissipate the impact energy, avoiding the need to increase the thickness of the steel mill. The impact over coated wall with rubber was simulated (Figure 13). This material was considered as a hyper-elastic. Its thickness was 3 mm. The Mooney Rivlin formulation was used. It is based on a linear combination of two constants (C ₁ =1.65 MPa and C ₂ = -0.44 MPa). They are described as a function of strain energy. These constants were obtained experimentally. The maximum von Mises stress was 13.8 MPa.

The dynamic behavior of the inner wall was compared with the cases analyzed in case two (Figure 14). In first instance, the direct impact of a ball over the inner wall generated fluctuant stresses. This situation was diminished when the rubber coating was used.

In this case, some of the impact energy was absorbed, and the variation of the stresses was reduced notably. In order to get a better idea, the impact over a plate of rubber was analyzed. The level of stresses was reduced. The von Mises stresses, for the condition in which the walls of the mill are uncoated, were sub-damped with three peaks (115, 45 and 35) MPa (Figure 14). It took place at the boundary of the impact point.

Regarding the inner wall coated with rubber, the maximum von Mises stress was reduced 8 times in comparison with the stresses that took place with uncoated conditions. The peak stress was 5% of the yield strength of the shell. The resultant stress fields were compared in Figure 15.

Finally, the numerical solution was compared with the results of a simplified analytical procedure. It is based on the "Work-Energy" principle (Figure 16). The results show that the numerical calculations are 23% higher than the analytical estimates. It has to be kept in mind that the analytical model is based on the deformation. The simplifications imply that greater deformations were estimated at the impact area with the finite element method. Therefore, the stresses will be underestimated with an analytical procedure.

Este método se usó para determinar el tamaño del molino en el programa BM-Crush. El diámetro del molino se obtuvo con la ecuación 1$D={\left[\frac{{0.94*P}_a}{K_B{\left(J\right)}^{0.461}{\left({\varphi }_c\right)}^{1.505}\left(\frac{L}{D}\right)}\right]}^{\frac{1}{3.5}}$. La longitud depende de la relación (Longitud/Diámetro, L/D) que se supuso desde el comienzo de los cálculos. K _B es una constante que es igual a 4.456x10^-5 para la molienda en seco y Φ _c es la velocidad crítica.

La potencia mecánica P _a puede obtenerse por la ecuación 2$P_a=10w_i\frac{1}{0.907}\left[\frac{1}{d_{80}}-\frac{1}{D_{80}}\right]*C$, donde; (D ₈₀ y d ₈₀ ) representan el tamaño de partícula al principio y al final del proceso de molienda, respectivamente. Se expresan en metros. C es la capacidad del molino en toneladas/hora (Duda, 2003DUDA, W.H.: Manual tecnológico del cemento, Ed. Reverte, México, DF, 352 p., 2003, ISBN: 978-84-7146-095-0.).

El índice de Bond (w _iD ) debe ser ajustado por (w _i ) para otras condiciones de operación usando la ecuación 3$wi=KjwiD$, donde K _j depende de diferentes factores que se pueden obtener de tablas y otros procedimientos numéricos (Duda, 2003DUDA, W.H.: Manual tecnológico del cemento, Ed. Reverte, México, DF, 352 p., 2003, ISBN: 978-84-7146-095-0.; Wills, 2006WILLS, B.: Wills’ Mineral Processing Technology: An Introduction to the Practical Aspects of Ore Treatment and Mineral Recovery, Ed. Butterworth Hein, 2006, ISBN: 978-0-08-097054-7.; Neikov et al., 2009NEIKOV, O.D.; MURASHOVA, I.B.; YEFIMOV, N.A.; NABOYCHENKO, S.: Handbook of Non-Ferrous Metal Powders: Technologies and Applications, Ed. Elsevier, USA, 644 p., 2009, ISBN: 978-0-08-055940-7.).

W _iD , Depende de las dimensiones del diámetro del molino de bolas y es corregido por la ecuación 4$W_{iD}=\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{{\left[\frac{2.44}{D}\right]}^{0.2}D\le 3.81m}{0.914D>3.81m}\right.$.

Finalmente, el tamaño máximo de las bolas fue determinado por la siguiente expresión desarrollada por Bond (ecuación 5$d_{B1}=25.4\left[{\left(\frac{D_{80}}{cbm}\right)}^{1/2}{\left(\frac{{\rho }_s{w}_i}{100{\phi }_c{\left(3.281D\right)}^2}\right)}^{1/3}\right]\left[mm\right]$) (Wills, 2006WILLS, B.: Wills’ Mineral Processing Technology: An Introduction to the Practical Aspects of Ore Treatment and Mineral Recovery, Ed. Butterworth Hein, 2006, ISBN: 978-0-08-097054-7.).

donde:

Las condiciones de funcionamiento iniciales (Tabla 2) para el molino (longitud, diámetro, velocidad, potencia mecánica y tamaño del molino y de bolas de acero) fueron obtenidos utilizando el diagrama de flujo que se muestra en las Figuras 2 y 3.

El estudio analítico de las fuerzas de impacto consideradas en este trabajo se fundamentó en el principio de trabajo-energía. En la Figura 1, la masa m cae desde su posición inicial hasta que el muelle se deforma a una cierta longitud δ _m , alcanzando un tope momentáneo. Posteriormente, se libera la energía potencial del resorte, tomando como base la posición más baja de la masa m, la ecuación del balance energético en estas condiciones es:

dónde; K _r es la rigidez del resorte, g es igual a 9.81 m/s², P es el peso del cuerpo y h es la altura de caída del cuerpo.

Resolviendo esta ecuación cuadrática y tomando sólo la raíz positiva:

El término P/k _r es la deflexión del muelle bajo carga estática que puede ser reemplazada por la deformación estática δ _st , dejando la siguiente ecuación:

Finalmente, el coeficiente de carga dinámica (ecuación 10${Kd}_i=1+\sqrt{1+\frac{2h}{{\delta }_{st}}}$) se obtiene haciendo δ _st =1. Este planteamiento únicamente es válido en el rango elástico. En este caso, fue necesario representar el coeficiente de carga dinámica en función de la velocidad de la bola (ecuación 11${Kd}_i=1+\sqrt{1+\frac{v_{fi}^2}{{g\delta }_{st}}}$). Estas ecuaciones son similares a las presentadas por Budynas & Nisbett (2015)BUDYNAS, R.G.; NISBETT, J.K.: Shigley’s Mechanical Engineering Design, Ed. Mc Graw-Hill, México, DF, 2015, ISBN: 13: 978-0073398204..

La velocidad del impacto (V _fi ) se obtiene mediante la siguiente ecuación:

con;

Donde N ² es 43.89 rpm, sen (φ), representa el ángulo de curvatura y finalmente r, es el radio del molino igual a 0.297 m.

La deformación máxima debida a condiciones estáticas debe conocerse para determinar el factor de impacto dinámico. Para la determinación de los parámetros de diseño, se utilizó el programa BM-Crush el cual fue desarrollado inicialmente por Ocampo et al. (2015OCAMPO, A.; HERNÁNDEZ, L.H.; URRIOLAGOITIA, G.; FERNÁNDEZ, D.; CERVANTES, R.; FERNÁNDEZ, D.: “Diseño de un Molino para Reciclar Pastas de Freno de Tracto-Camiones Usando el Método de Bond”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 24(3): 45-51, 2015, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054., 2016OCAMPO, A.; HERNÁNDEZ, L.H.; URRIOLAGOITIA, G.; FERNÁNDEZ, D.; FERNÁNDEZ, D.; CERVANTES, R.: “Evaluación de la Integridad Estructural de un Molino de Bolas en Condiciones Estáticas y Dinámicas Usando el Método del Elemento Finito (MEF)”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias , 25(2): 5-16, 2016, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054.). Éste se fundamenta en las ecuaciones desarrolladas por Bond (1960)BOND, F.C.: “Crushing and Grinding Calculations”, British Chemical Engineering, 6(1): 378-391, 543-548, 1960, ISSN: 0007-0424.; Wang et al. (2014)WANG, Y.; ZHANG, Z.; XU, Y.; XI, Y.: Tensile Fracture Simulation in Rock Using Augmented Virtual Internal Bond Method, Rock Mechanics and Its Applications in Civil, Mining and Petroleum Engineering, Ed. American Society of Civil Engineers, 13-19 p., 2014, ISBN: 978-0-7844-1339.. Su propósito es calcular las dimensiones del molino, su espesor, la velocidad de rotación y el número y tamaño de las bolas. Estos parámetros fueron las condiciones iniciales en el análisis numérico usando el Método del Elemento Finito. El diagrama de flujo del código se ilustra en la Figura 2. En este trabajo se ha añadido una subrutina que estima la magnitud del impacto (Figura 3).

El Método del Elemento Finito fue utilizado para evaluar los esfuerzos dinámicos en las paredes internas del molino de bolas. Las condiciones iniciales se llevaron a cabo mediante el desarrollo de un programa numérico implementado en Matlab. La Tabla 3 muestra los parámetros de diseño, que se estimaron de acuerdo con el diagrama de flujo del programa BM-Crush (Figura 2), considerando las condiciones establecidas en la Tabla 3. En todos los análisis se consideró un acero estructural. Su módulo de Young y relación de Poisson fueron de 260 MPa y 0.3, respectivamente.

Se utilizó la formulación Mooney Rivlin. Ésta se fundamenta en una combinación lineal de dos constantes (C ₁ = 1.658 MPa y C ₂ = -0.445 MPa), descrita como una función de la energía de deformación. Estas constantes se obtuvieron experimentalmente siguiendo la metodología disponible en la literatura abierta (Wood, 1977WOOD, A.L.: “Uniaxial Extension and Compression in Stress-Strain Relations of Rubber”, Journal of Research of the National Bureau of Standards, 82: 57 - 63, 1977, ISSN: 0160-1741.; Yu & Zhao, 2008YU, Y.S.; ZHAO, Y.P.: “Deformation of PDMS Membrane and Micro-cantilever by a Water Droplet: Comparison between Mooney-Rivlin and Linear Elastic Constitutive Models”, Journal of Colloid and Interface Science, 332: 467-476, 2008, ISSN: 0021-9797.).

Se analizaron dos casos: (1). En primera instancia, se desarrollaron dos modelos numéricos utilizando la mitad del molino de bolas. En el primero, se simuló el impacto de una sola bola de acero sobre la pared interior. Se evaluaron tres espesores de pared diferentes. En el segundo modelo, la simulación se hizo considerando que noventa bolas de acero impactan la pared interna de forma simultánea. Se seleccionó un solo grosor, del modelo anterior; (2). En el segundo caso, se desarrollaron dos análisis FEM adicionales. Se consideró una octava parte del modelo del molino. La primera evaluación se realizó sin recubrimiento y, en la segunda, se evaluó la integridad estructural del molino con recubrimiento de caucho, el cual contribuye en gran medida a la mitigación de los esfuerzos dinámicos. El espesor del recubrimiento fue de 3 mm.

Una vez que se determinaron los parámetros de la operación, se realizaron las tres simulaciones numéricas preliminares (modelo 1 del primer caso). El propósito fue la evaluación del campo de esfuerzo dinámico en la pared del molino. Se evaluaron tres espesores diferentes (12.7 mm, 15.9 mm y 19.1 mm). De acuerdo con los resultados, se eligió el espesor de 12.7 mm, ya que el esfuerzo está dentro del rango elástico. Se llevaron a cabo análisis más detallados. El campo de esfuerzo transitorio se obtuvo cuando noventa bolas impactan simultáneamente en la pared interna. De acuerdo con los requisitos del proceso de molienda y el cálculo realizado con el método Bond, se estimó que se requerían 900 bolas de acero (Ocampo et al., 2015OCAMPO, A.; HERNÁNDEZ, L.H.; URRIOLAGOITIA, G.; FERNÁNDEZ, D.; CERVANTES, R.; FERNÁNDEZ, D.: “Diseño de un Molino para Reciclar Pastas de Freno de Tracto-Camiones Usando el Método de Bond”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 24(3): 45-51, 2015, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054.). Basado en pruebas experimentales y numéricas según Sun et al. (2009) SUN, Y.; DONG, M.; MAO, Y.; FAN, D.: “Analysis on Grinding media Motion in Ball Mill by Discrete Element Method”, En: 1st International Conference on Manufacturing Engineering, Quality and Production Systems I, pp. 227-231, 2009., se desarrolla una condición crítica cuando caen 90 bolas de acero al mismo tiempo. Por esta razón, esta situación se consideró en el análisis de esfuerzos. Los parámetros relevantes de las evaluaciones de elementos finitos se resumen en la Tabla 4.

En una segunda etapa, se evaluó el campo de esfuerzo cuando una bola impacta la pared interna. Dicha pared no está revestida. Finalmente, se evaluó el rendimiento de una pared interna recubierta. Dicho revestimiento era de caucho y su espesor era de 3 mm. El procedimiento general de esta metodología se muestra en la Figura 3. Todos los análisis de esfuerzos se realizaron con ANSYS-LS-Dyna Code Version, 2020. y programa BM-Crush. Las Figuras 4, 5 y 6 muestran las condiciones de contorno.

En la primera evaluación del caso uno (Figuras 4 y 5), el campo de esfuerzo se obtuvo cuando una sola pelota impactó el centro del modelo. Como la geometría de la parte cilíndrica es simétrica, solo la mitad fue modelada con elementos Shell 163, esto para ahorrar recursos computacionales. Sus bordes estaban fijos.

La velocidad inicial de la bola fue de 3.43 m/s. En todos los casos, el radio interior del molino de bolas es de 297 mm y el espesor varía (12.7 mm, 15.9 mm y 19.1 mm) (Figura 4). Este resultado se comparó analíticamente.

En el siguiente análisis, la dimensión del dominio del análisis fue la misma que la mencionada anteriormente. Los bordes estaban fijos. La integridad estructural se evaluó cuando la pared del molino fue impactada con 90 bolas de acero simultáneamente (Figura 5). La velocidad de las bolas fue de 3.453 m/s.

Para ambos modelos del caso dos (Figura 6(a) y (b)), la velocidad inicial de la bola y el tipo de elemento seleccionado fueron de 3.46 m/s y Solid 164, respectivamente. Además, se tomó en cuenta la simetría de la geometría estudiada y sólo se evaluó un octavo. En la primera evaluación, la pared metálica sólo se consideró como se muestra en la Figura 6a.

El segundo caso evaluó la mitigación de los esfuerzos transitorios sobre la pared interna del molino de bolas. Para este propósito, se consideró un recubrimiento de caucho. Su grosor fue de 3 mm y se consideró como un modelo hiperelástico (Figura 6b). Dado que el estrés evaluado es un fenómeno localizado, consideramos que la rigidez no afecta mucho a nuestros resultados, cuando usamos un modelo de la mitad y un octavo del molino de bolas.

El espesor de la pared interna juega un papel importante. A medida que aumenta, los esfuerzos se reducen. El menor esfuerzo equivalente de von Mises (110 MPa) se obtuvo cuando se utilizó una placa de 19.1 mm. Sin embargo, se decidió utilizar una placa de 12.7 mm, porque facilita la fabricación del molino. En este caso, el pico de esfuerzo (142 MPa) tiene que ser mitigado (Figura 7). El esfuerzo se considera entre el impacto instantáneo en la pared interna del molino y cuando la velocidad relativa entre los cuerpos es cero. Es en este tiempo que se obtiene el esfuerzo máximo.

El campo de esfuerzo se reduce cuando se aumenta el espesor de la pared. En todos los casos analizados no se superó el límite de elasticidad (260 MPa). La variación de los esfuerzos máximos con respecto al espesor se ilustra en la Figura 8.

Durante el proceso del molino, varias bolas impactan la pared interna simultáneamente siguiendo un patrón aleatorio. Esta situación es difícil de modelar. El diámetro y el peso de cada una de las bolas fueron 50 mm y 0.514 kg, respectivamente. La gravedad de esta condición de carga se evaluó sin ningún recubrimiento. En este caso, la distribución de los esfuerzos mostrada se divide en pequeños periodos de tiempo (Figura 9a-Figura 9f) donde esfuerzo es máximo para cada impacto de las 90 bolas de acero. Después de que la velocidad relativa entre la pared del molino y las bolas es cero. Se puede ver en (Figura 9g-9l) que los esfuerzos se extienden creando áreas de altas concentraciones de esfuerzos que se encuentran en la frontera del molino.

Los resultados mostraron que los esfuerzos máximos eran alrededor de 194 MPa, como se muestra en la Figura 10.

El impacto simultáneo de las bolas de acero en la pared interna del molino generó esfuerzo significativo, cuando el grosor de la placa fue de 12.7 mm. El esfuerzo máximo fue de 169 MPa. Resultó de la propagación de las ondas de esfuerzo. La Figura 11 muestra el campo de esfuerzo alrededor del área de impacto. Sin embargo, también se muestra un esfuerzo transitorio de von Mises de 194 MPa y es el 75% del esfuerzo de cedencia. Se estimó que el pico de esfuerzos se produce alrededor de 2400 veces en una hora.

Se simuló el impacto de una bola sobre la pared interna (espesor 12.7 mm), (Figura 12). Se evaluó sólo un octavo de la pared cilíndrica completa del molino. Se esperaba que este modelo reducido proporcionara datos simplificados sobre el proceso de impacto. Al mismo tiempo, el tiempo de cálculo se guarda. La evaluación final no se ve afectada, cuando se obtuvo el máximo esfuerzo de von Mises en el área de contacto. En otras palabras, este campo de esfuerzo transitorio se genera en cada punto de impacto. Dicho campo se genera aleatoriamente en la pared interna. Por lo tanto, la idea es evaluar el campo de esfuerzo transitorio en cada punto, que tiene lugar repetidamente durante el proceso de molienda.

Este enfoque también aumentó la posibilidad de generar una malla más fina en el punto de impacto sobre la pared interior. En esta circunstancia, el esfuerzo máximo de von Mises fue de 115 MPa. Las diferencias entre los esfuerzos de 142 MPa y 115 MPa se deben al tamaño de la bola utilizada (r₁ = 32 mm) y (r₂ = 25 mm). El objetivo fue observar la distribución de esfuerzos, cuando se cambió el tamaño de las bolas.

Con el fin de minimizar el efecto de los esfuerzos cíclicos, se propuso cubrir las paredes internas del molino con una capa de caucho de 3 mm. Esto absorberá y disipará la energía de impacto, evitando la necesidad de aumentar el espesor del molino de acero. Se simuló el impacto sobre la pared revestida con caucho (Figura 13). Este material fue considerado como un hiperelástico. Su espesor era de 3 mm. Se utilizó la formulación Mooney Rivlin. Se basa en una combinación lineal de dos constantes (C1 = 1.65 MPa y C2 = -0.44 MPa). Se describen como una función de la energía de deformación. Estas constantes se obtuvieron experimentalmente. El máximo esfuerzo de von Mises fue de 13.8 MPa.

El comportamiento dinámico de la pared interna se comparó con los casos analizados en el caso dos (Figura 14). En primera instancia, el impacto directo de una bola sobre la pared interna generó esfuerzos fluctuantes. Esta situación se redujo cuando se utilizó el recubrimiento de caucho.

En este caso, parte de la energía de impacto fue absorbida, y la variación de los esfuerzos se redujo notablemente. Con el fin de obtener una mejor idea, el impacto sobre un plato de caucho se analizó. El nivel de esfuerzos se redujo. Los esfuerzos de von Mises, por la condición en la que las paredes del molino no están revestidas, fueron sub-amortiguadas con tres picos (115, 45 y 35) MPa (Figura 14). Se llevó a cabo en el límite del punto de impacto.

En cuanto a la pared interna revestida con caucho, el esfuerzo máximo de von Mises se redujo 8 veces en comparación con los esfuerzos que tuvieron lugar con las condiciones no revestidas. El pico de esfuerzo fue del 5% de la resistencia a la deformación de la carcasa. Los campos de esfuerzo resultantes se compararon en la Figura 15.

Finalmente, se comparó la solución numérica con los resultados de un procedimiento analítico simplificado. Con base en el principio "Trabajo-Energía" (Figura 16). Los resultados muestran que los cálculos numéricos son 23% más altos que las estimaciones analíticas. Hay que tener en cuenta que el modelo analítico se basa en la deformación. Las simplificaciones implican que se estimaron mayores deformaciones en el área de impacto con el método de elementos finitos. Por lo tanto, los esfuerzos serán subestimados con un procedimiento analítico.