The active element of the 10CK40T transducer used in the sensor, is a quartz piezoelectric ultrasonic buzzer. This acts as a peculiar type of filter on the pulses signal generated by the excitation subsystem of the sensor (León et al., 2018LEÓN, M.J.A.; HERNÁNDEZ, G.A.; IGLESIAS, C.C.: “Fundamentals, Design and Evaluation of an Ultrasonic Proximity Sensor with Thermal Compensation”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 27(2): 33-40, 2018, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054.). For that reason, the real excitation signal does not have a square shape (see blue curve in Figure 2). Therefore, in order to facilitate the characterization of its behavior, it would be convenient to fit it to an analytic correlation function, from recording the real excitation signal (Zilesny, 2011ZILESNY, A.: From Curve Fitting to Machine Learning, Ed. Springer-Verlag, Berlin, Germany, 2011, ISBN: 978-3-642-21279-6.). Then, it is convenient to use the following function:

being:

The parameters $a$ , $b$ and $c$ are the correlation coefficients for the fitting of the function (1)$V_{exc}\left(t\right)=a\left[sin\left(2\pi f_{exc}t+c\right)+b\bullet sin\left(6\pi f_{exc}t+c\right)\right], V$ to the real signal generated by the sensor for the transducer excitation.

The wave function that corresponds to a spherical wave front Crawford (1968)CRAWFORD, F.S.: “Traveling Waves ”, en Waves. Berkeley Physics Course, Ed. McGraw-Hill Book Company, vol. 3, New York, USA, 156-199 p., 1968b.; Young & Freedman (2009)YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A.: Física universitaria, Ed. Pearson Educación, vol. I, México D. F, 487-569 p., 2009, ISBN: 978-607-442-288-7.; Ginsberg (2018)GINSBERG, J.H.: “Descriptions of sound ”, en Acoustics. A textbook for engineers and physicists, Ed. Springer International Publishing, vol. I: Fundamentals, Dunwoody, 1-90 p., 2018, ISBN: 978-3-319-56844-7., generated according to the signal described by the equation (1)$V_{exc}\left(t\right)=a\left[sin\left(2\pi f_{exc}t+c\right)+b\bullet sin\left(6\pi f_{exc}t+c\right)\right], V$, is determined for:

where:

The wave number of the main harmonic component in the wave function (2)$\left.\cdots +b\bullet sin\left(6\pi f_{exc}t-{3k}_{exc}r+c\right)\right], m$, is determined according to:

being:

Thus, the oscillations amplitude on the emission surface of the transducer will be:

where:

Considering the sensor design conditions, the wave intensity on the emission surface of the transducer can be determined according to:

being:

The elastic waves behavior in the separation limit between different densities propagation media, is characterized by the separation in two new wave fronts (Yavorski & Pinski, 1983YAVORSKI, B.M.; PINSKI, A.A.: Ondas Elásticas ” en Fundamentos de Física, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 68-84 p., 1983.; Young & Freedman, 2009YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A.: Física universitaria, Ed. Pearson Educación, vol. I, México D. F, 487-569 p., 2009, ISBN: 978-607-442-288-7.). They are known as reflected (echo) and refracted wave fronts, respectively.

The catoptrics properties characterize the wave reflection capacity in the limit of separation between two propagation media. Reflectivity coefficient has been defined as the relation between the intensities of the reflected and incident waves, quantifying, in this way, the separation limit catoptrics properties (Crawford, 1968aCRAWFORD, F.S.: Reflection en Waves. Berkeley Physics Course, Ed. McGraw-Hill Book Company, vol. 3, New York, USA, 226-240 p., 1968a.; Yavorski & Pinski, 1983YAVORSKI, B.M.; PINSKI, A.A.: Ondas Elásticas ” en Fundamentos de Física, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 68-84 p., 1983.). In the particular case of a sonic wave traveling by the air, the acoustic reflectivity coefficient for the associate separation limit between the air and another material, is calculated according to:

where:

The selection of the different materials for the catoptric behavior characterization, must consider that a high variability exists among the parameters associated to them. Table 1 shows the relation of the materials and their parameters for equation (6)$R_n={\left(\frac{{\rho }_{air}{v}_s-{\rho }_n{v}_n}{{\rho }_{air}{v}_s+{\rho }_n{v}_n}\right)}^2$. They have been taken from Young & Freedman (2009)YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A.: Física universitaria, Ed. Pearson Educación, vol. I, México D. F, 487-569 p., 2009, ISBN: 978-607-442-288-7..

In equation (6)$R_n={\left(\frac{{\rho }_{air}{v}_s-{\rho }_n{v}_n}{{\rho }_{air}{v}_s+{\rho }_n{v}_n}\right)}^2$ it is considered that the energy of the incident wave is completely transferred to the echo and the refraction wave. For that reason, while bigger is the difference between the respective densities of the material and the air, the echo intensity will also be bigger (Crawford, 1968aCRAWFORD, F.S.: Reflection en Waves. Berkeley Physics Course, Ed. McGraw-Hill Book Company, vol. 3, New York, USA, 226-240 p., 1968a.; Yavorski and Pinski, 1983YAVORSKI, B.M.; PINSKI, A.A.: Ondas Elásticas ” en Fundamentos de Física, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 68-84 p., 1983.; Savéliev, 1984SAVÉLIEV, I.V.: Ondas Elásticas ”, en Curso de Física General, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 289-316 p., 1984.). Then, the echo intensity in the isotropic source emission focus can be determined according to:

being:

As a result of the transducer excitation, the real shape of the excitation signal is obtained and recorded (see blue curve in Figure 2).

Based on the data set coming from the real signal registration, a fitted mathematical model is obtained (see red curve in Figure 2).

The fitted mathematical model of the excitation signal describe it with an adjusted $R^2$ equal to $\mathrm{98,23}\%$ . This model is described analytically by the following function:

According to expression (8)$\left.\cdots +\mathrm{0,2705}\sin \left(\mathrm{7,5399}\times {10}^5\bullet t+\mathrm{0,4702}\right)\right], V$ (see the red curve in Figure 2 and the first graph in Figure 3), it is possible to model the behavior of the oscillations in the propagation medium, as well as with the advance of the wave front. So the corresponding wave function is:

In the second graph, in Figure 3, the behavior of the oscillations in the near proximity of the transducer emission surface is presented. Likewise, in the third graph, in Figure 3, the curve that describes the decrease of the oscillations amplitude, with the advance of the wave front is presented.

In general, in the graphs of Figure 3, a mathematical model running of the acoustic excitation taken place on the propagation medium by the sensor action is presented. In them, the behavior of the wave front is described during the time ( $\mathrm{0,5} ms$ ) that has been programmed for the duration of the medium acoustical disturbance (León et al., 2019LEÓN, M.J.A.; HERNÁNDEZ, G.A.; IGLESIAS, C.C.: “Diseño de un Dispositivo de Interfaz para un Sensor Ultrasónico de Proximidad”, En: XIII Conferencia Científica de Ingeniería Agrícola AGRING, Ed. Universidad Agraria de La Habana, Centro de Mecanización Agropecuaria (CEMA), San José de Las Lajas, Mayabeque, Cuba, 2019, ISBN: 978-959-16-3777-2.).

In Table 1, the set of acoustic reflectivity coefficients of the selected materials related to the air ( $100 kPa$ , $20°C$ ) is presented Then, no matter the deliberate high variability of the sets of densities and sound speeds, in the set of the acoustic reflectivity coefficients, it presented a very small variation (variation coefficient equal to $\mathrm{0,046}\%$ ).

The obvious interpretation of this result is that they will not have significant differences in the behavior of the echo intensity resultant of the collision of a sound wave (through the air) with one of these materials. In fact, in the worst of the studied cases (water surface at $100 kPa$ and $20°C$ ), the echo will transport the $\mathrm{99,889}\%$ of the incident wave energy, in the zone of the near proximity of the separation limit between air and water.

As it has been mentioned previously, the 10CK40T transducer is able to produce a sound pressure level of $120 dB$ for a maximum amplitude of a continuous excitation signal of $20 V$ (peak to peak) and a frequency of $40 kHz$ . Nevertheless, the design parameters of the sensor impose an excitation signal for the transducer of $\mathrm{9,04} V$ (peak to peak), as the one shown in the blue curve of Figure 2. So, this implies that the initial sound intensity of the sensor will be $\mathrm{0,45} W/m^2$ , then it means a sound pressure level in the order of $116 dB$ .

Considering the elements presented previously, it is possible to describe the behavior of the echo intensity with the increase of the distance between the sensor and the separation limit, for the worst of the studied cases (water surface at $100 kPa$ and $20°C$ , with $\mathrm{0,1} m$ of radio). The curves of Figure 4 show this relationship, obtained from equation (7)$I_e=R_n{I}_{0exc}{\left(\frac{r_{0exc}\bullet r_{0e}}{r^2}\right)}^2, W/m^2$.

Thus, it can be predicted that at a distance of two meters between the sensor and the separation limit, the echo intensity will be $\mathrm{1,38}\times {10}^{-8}W/m^2$ (echo sound pressure level in the order of $\mathrm{41,4} dB$ ). This guarantees a good sensor performance for a detection zone defined between $\mathrm{0,2}$ and $2 m$ , considering that the sensibility of the 10CK40R transducer is $5\times {10}^{-18}W/m^2$ ( $-63 dB$ ).

El elemento activo del transductor 10CK40T, empleado en el sensor, consiste en un resonador piezoeléctrico de cuarzo. El mismo actúa como una especie peculiar de filtro sobre la señal de pulsos generada por el subsistema de excitación del sensor (León-Martínez et al., 2018LEÓN, M.J.A.; HERNÁNDEZ, G.A.; IGLESIAS, C.C.: “Fundamentals, Design and Evaluation of an Ultrasonic Proximity Sensor with Thermal Compensation”, Revista Ciencias Técnicas Agropecuarias, 27(2): 33-40, 2018, ISSN: 1010-2760, e-ISSN: 2071-0054.). Por esta razón, en la práctica la señal de excitación resultante no es exactamente de forma cuadrada (Figura 3). Por ello, en aras de facilitar la caracterización de su comportamiento, resulta conveniente su ajuste a una función analítica de correlación, a partir del registro de la señal de excitación real (Zilesny, 2011ZILESNY, A.: From Curve Fitting to Machine Learning, Ed. Springer-Verlag, Berlin, Germany, 2011, ISBN: 978-3-642-21279-6.). Para conseguir este fin, es pertinente el empleo de la siguiente función:

donde:

Los parámetros $a$ , $b$ y $c$ constituyen los coeficientes de correlación para el ajuste de la función (1)$V_{exc}\left(t\right)=a\left[sen\left(2\pi f_{exc}t+c\right)+b\bullet sen\left(6\pi f_{exc}t+c\right)\right], V$ a la señal real generada por el sensor para la excitación del transductor 10CK40T.

La función de onda correspondiente a un frente de onda esférico (Crawford,1968bCRAWFORD, F.S.: “Traveling Waves ”, en Waves. Berkeley Physics Course, Ed. McGraw-Hill Book Company, vol. 3, New York, USA, 156-199 p., 1968b.; Young y Freedman, 2009YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A.: Física universitaria, Ed. Pearson Educación, vol. I, México D. F, 487-569 p., 2009, ISBN: 978-607-442-288-7.; Ginsberg, 2018GINSBERG, J.H.: “Descriptions of sound ”, en Acoustics. A textbook for engineers and physicists, Ed. Springer International Publishing, vol. I: Fundamentals, Dunwoody, 1-90 p., 2018, ISBN: 978-3-319-56844-7.), generado a partir de la señal descrita por la ecuación (1)$V_{exc}\left(t\right)=a\left[sen\left(2\pi f_{exc}t+c\right)+b\bullet sen\left(6\pi f_{exc}t+c\right)\right], V$, está dada por:

donde:

El número de onda de la componente armónica principal de la función de onda (2)$\left.\cdots +b\bullet sen\left(6\pi f_{exc}t-{3k}_{exc}r+c\right)\right], m$, se determina según:

siendo:

Así mismo, la amplitud de las oscilaciones en la superficie de emisión del transductor 10CK40T será:

donde:

La intensidad de la onda en la superficie de emisión del transductor 10CK40T, dadas las condiciones de diseño del sensor, se determina a partir de:

donde:

El comportamiento de las ondas elásticas en el límite de separación entre dos medios de propagación de diferentes densidades, se caracteriza por su separación en dos nuevos frentes de onda (Yavorski y Pinski, 1983YAVORSKI, B.M.; PINSKI, A.A.: Ondas Elásticas ” en Fundamentos de Física, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 68-84 p., 1983.; Young y Freedman, 2009YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A.: Física universitaria, Ed. Pearson Educación, vol. I, México D. F, 487-569 p., 2009, ISBN: 978-607-442-288-7.). A los mismos se les conocen como frentes de onda reflejado y refractado respectivamente.

Las propiedades catóptricas caracterizan la capacidad de reflexión de una onda en el límite de separación de dos medios. Las mismas se cuantifican a partir del coeficiente de reflectiblidad, el que se define como la relación entre la intensidad de la onda reflejada (eco) y la intensidad de la onda incidente en el límite de separación (Crawford, 1968aCRAWFORD, F.S.: Reflection en Waves. Berkeley Physics Course, Ed. McGraw-Hill Book Company, vol. 3, New York, USA, 226-240 p., 1968a.; Yavorski y Pinski, 1983YAVORSKI, B.M.; PINSKI, A.A.: Ondas Elásticas ” en Fundamentos de Física, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 68-84 p., 1983.). En el caso particular del sonido, considerando el límite de separación entre el aire y otro material, el coeficiente de reflectividad acústica se determina según:

donde:

Luego, procede la selección de los diferentes materiales para la caracterización. Para ello, se ha de tomar en consideración que exista una amplia variabilidad entre las densidades de los mismos, así como entre sus respectivas velocidades de propagación del sonido. En la Tabla 1 se relacionan los materiales y los valores numéricos de los parámetros a emplear en la ecuación (6)$R_n={\left(\frac{{\rho }_{air}{v}_s-{\rho }_n{v}_n}{{\rho }_{air}{v}_s+{\rho }_n{v}_n}\right)}^2$. Los mismos han sido tomados de Young y Freedman (2009)YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A.: Física universitaria, Ed. Pearson Educación, vol. I, México D. F, 487-569 p., 2009, ISBN: 978-607-442-288-7., como se ha mencionado anteriormente.

La ecuación (6)$R_n={\left(\frac{{\rho }_{air}{v}_s-{\rho }_n{v}_n}{{\rho }_{air}{v}_s+{\rho }_n{v}_n}\right)}^2$ se sustenta sobre la consideración de que la energía de la onda incidente en el límite de separación, se consume completamente en la reflexión y la refracción de la misma. Por ello, es de esperar que en la medida en que sea mayor la diferencia entre las densidades del medio correspondiente y del aire, la intensidad del eco también lo será (Crawford, 1968aCRAWFORD, F.S.: “Traveling Waves ”, en Waves. Berkeley Physics Course, Ed. McGraw-Hill Book Company, vol. 3, New York, USA, 156-199 p., 1968b.; Yavorski y Pinski, 1983YAVORSKI, B.M.; PINSKI, A.A.: Ondas Elásticas ” en Fundamentos de Física, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 68-84 p., 1983.; Savéliev, 1984SAVÉLIEV, I.V.: Ondas Elásticas ”, en Curso de Física General, Editorial MIR, vol. II, Moscú, Rusia, URSS, 289-316 p., 1984.). Luego, se puede determinar la intensidad del eco en el foco de emisión de la fuente isótropa según:

donde:

Como resultado de la excitación del transductor 10CK40T, se obtiene la forma de onda real de la señal de excitación, cuyo oscilograma se muestra en color azul en la Figura 3. A partir del conjunto de datos que conforman la misma, se obtuvo un modelo matemático ajustado, cuya gráfica se muestra en color rojo en la Figura 3.

El modelo matemático ajustado para la señal de excitación, permite describir a la misma con un $R^2$ ajustado de $\mathrm{98,23}\%$ . Este modelo obedece analíticamente a la siguiente función:

A partir de la expresión (8)$\left.\cdots +\mathrm{0,2705}\mathrm{sen}\left(\mathrm{7,5399}\times {10}^5\bullet t+\mathrm{0,4702}\right)\right], V$ (ver la curva de color rojo en la Figura 3 y la primera gráfica de la Figura 4) es posible modelar el comportamiento de las oscilaciones producidas en el medio de propagación, así como el comportamiento de las mismas con el avance del frente de onda. De modo que la función de onda correspondiente es:

La segunda gráfica de la Figura 4 ilustra el comportamiento de las oscilaciones alrededor de la superficie de emisión del transductor 10CK40T. Así mismo, en la tercera gráfica de la Figura 4 se muestra la curva que describe la disminución de la amplitud de las oscilaciones, con el avance del frente de onda.

Los gráficos de la Figura 4 muestran una corrida del modelo matemático de la excitación acústica producida por el sensor sobre el medio de propagación. En ellos se puede apreciar que describen en conjunto el comportamiento del frente de onda durante el tiempo ( $\mathrm{0,5} ms$ ) que se ha programado para la duración de dicha perturbación (León-Martínez et al., 2019LEÓN, M.J.A.; HERNÁNDEZ, G.A.; IGLESIAS, C.C.: “Diseño de un Dispositivo de Interfaz para un Sensor Ultrasónico de Proximidad”, En: XIII Conferencia Científica de Ingeniería Agrícola AGRING, Ed. Universidad Agraria de La Habana, Centro de Mecanización Agropecuaria (CEMA), San José de Las Lajas, Mayabeque, Cuba, 2019, ISBN: 978-959-16-3777-2.).

En la Tabla 1 se muestran los resultados de la determinación de los coeficientes de reflectividad acústica con relación al aire, de los diferentes materiales seleccionados a partir de los criterios expuestos anteriormente.

Como se puede apreciar, a pesar de la variabilidad deliberada entre las densidades y entre las velocidades del sonido correspondientes a los diferentes materiales seleccionados, los respectivos coeficientes de reflectividad acústica varían muy poco entre sí. En efecto, el coeficiente de variación de este conjunto de valores es $\mathrm{0,046}\%$ . La interpretación obvia de este resultado es que no existirán diferencias significativas en el comportamiento de la intensidad del eco acústico resultante de la colisión de una onda sonora (que viaje a través del aire) con uno de estos materiales. Ello está relacionado con el hecho de que en el caso en que se evidencia un menor coeficiente de reflectividad acústica (superficie de agua a $100 kPa$ y $20°C$ ) el eco transportará, en el entorno del límite de separación, el $\mathrm{99,889}\%$ de la energía de la onda incidente sobre el mismo.

Como se ha mencionado anteriormente, el transductor piezoeléctrico 10CK40T es capaz de producir un nivel de presión sonora de $120 dB$ para una señal de excitación continua con una amplitud máxima de $20 V$ pico a pico y una frecuencia de $40 kHz$ . No obstante, los parámetros de diseño del sensor imponen una señal de excitación para dicha sonda de $\mathrm{9,04} V$ pico a pico (ver la curva de color azul de la Figura 3), lo que implica una intensidad inicial del sonido para el sensor de $\mathrm{0,45} W/m^2$ . Luego, se puede estimar que el sensor podrá lograr un nivel de presión sonora del orden de $116 dB$ .

A partir de lo antes expuesto, considerando además una superficie de reflexión de $\mathrm{0,1} m$ de radio, así como el material con menor coeficiente de reflectividad acústica registrado en la Tabla 1 (agua a $100 kPa$ y $20°C$ ); es posible describir el comportamiento de la intensidad del eco con el aumento de la distancia que existe entre el sensor y el límite de separación. Con ayuda de la ecuación (7)$I_e=R_n{I}_{0exc}{\left(\frac{r_{0exc}\bullet r_{0e}}{r^2}\right)}^2, W/m^2$, en la Figura 5 se muestra esta relación.

Así mismo, se puede establecer que a una distancia de dos metros entre el sensor y el límite de separación, la intensidad del eco está en el orden de $\mathrm{1,38}\times {10}^{-8}W/m^2$ , la que se corresponde con un nivel de presión sonora del eco del orden de los $\mathrm{41,4} dB$ . Ello asegura una buena respuesta del sensor para una zona de detección comprendida entre $\mathrm{0,2}$ y $2 m$ ; si se considera la sensibilidad que consigna el fabricante para el transductor ultrasónico 10CK40R, que es del orden de $5\times {10}^{-18}W/m^2$ ( $-63 dB$ ).