The acting force in the farming tools affect directly the energy consumption of tillage operations. About half of the energy used for harvest production in agriculture is consumed in tillage operations because of the magnitude of cutting forces generated when fault and breaking up of soil clods happen (Davoudi et al., 2008; Armin et al., 2015). Some studies have been focused to the measuring of draft force and power requirements of tillage tools under some soil conditions (Grisso et al., 1996). The determination of draft force, necessary for the soil tillage, has gotten the attention of several researchers since 60s of last century Hettiaratchi et al. (1966); Gill & VandenBerg (1968), to nowadays (Abo et al., 2011; Ibrahmi et al., 2015) The draft force depends on factors related with tool geometry, soil resistance and operation parameters (Armin et al., 2014; Moeinfar et al., 2014; Sun et al., 2015; Ahmadi, 2016).

Several researchers have used both analytical and numerical methods to investigate the soil fault process and soil-tillage tool interaction (Elbashir et al., 2014). Entre los métodos numéricos, el método de elementos finitos (MEF) ha demostrado ser útil en la comprensió Among numerical methods, the Finite Element Method (FEM) has demonstrated to be useful in the comprehension, research, description and solution of these problems. It has been developed to model soil tillage and fault processes Bentaher et al. (2013), to model simple tools of wedge or plow shear Davoudi et al. (2008), curved bent leg plows (Jafari et al., 2006), disc plows Abu & Reeder (2003), and moldboards plows (Plouffe et al., 1999; Formato et al., 2005; Jeshvaghani et al., 2013).

Also, the effects of displacement velocity, working depth and attack angle of tillage tool in draft have been studied by this method (Yong y Hanna, 1977; Chi y Kushwaha, 1990; Abo et al., 2003).

Some researchers have attempted improve the tillage tool geometry using physical experiments (Soni et al., 2007), while mathematic simulations were also considered in other investigations (Shrestha et al., 2001). In other research works, the influence of operational conditions in the energy consumption of tillage tool was studied (Al-Janobi y Al-Suhaibani, 1998; Moitzi et al., 2014; Ehrhardt et al., 2001).

The main objective of this work was to study the influence of the density of mesh and the angle of attack of the arm of a scarifier in tractional forces, the tensions of contact between the nodes, as well as deformations and fault of the ground for the tool of cultivation, utilizing the Finite Element Method and extended Drucker Prager's Model.

Model for Soil. The mechanical behavior of soil under external tillage load is modelled with different yield approaches (Ibrahmi et al., 2015). Several researchers have utilized the Drucker-Prager yield approach and its extended forms (lineal, hyperbolic and exponential) to simulate the interaction between soil and different tools used in civil engineering, excavations and tillage (Li et al., 2013). In the present paper, the soil was modeled as continuous, homogeneous and elastoplastic, using the lineal form of the extended Drucker-Prager Model (Figure 1) employee with success by Herrera (2006), given the simplicity of it and the small amount of parameters required for its implementation (González, 2008). The yield function of this model (F) is defined as (González, 2008; De la Rosa, 2014):

where:

t -deviatory effort; σ_c -normal effort actuating over the soil; β - angle that defines the slope lifting of the yield surface, commonly referred to the angle of internal friction of the soil; C is the cohesion; (σ₁, σ₂, σ₃ -principal maximum, medium and minimum stresses.

r³ third invariant of stresses, calculated as:

The cohesion C, is calculated as:

where τ-tangential stress

Soil Properties and Parameters. The soil taken like object of study was classified as Rhodic Ferralsol Hernández et al. (1975), with density 1 150 kg.m^-3, plasticity ratio 36,2% and organic matter content 2,7%. The elastic modulus was determined by the slope of a tangential line of a stress- strain curve in straight section, obtained by Herrera (2006) for this type of soil. The Poisson rate ν was determined by:

for that:

where:

G -strain modulus and was determined by the slope of a tangential line of straight section of the stress- strain curve obtained of the direct cut tests (González, 2008; De la Rosa, 2014).

The Table 1 show the values of properties and soil parameters required by the finite element model (Herrera, 2006; García de la Figal, 2013; De la Rosa, 2014).

Finite Element Model. A tridimensional simulation model (3D) of the soil-tillage tool interaction was developed applying the Finite Element Method and modeled, by means the software Solid Works (Figure 2). The vibratory scarifier was compound of: Tool of curved arm with logarithmic profile, the block of soil and the surface of interaction between both.

The arm scarifier was modelled as a rigid discrete body, with reference point located in the tip. The working depth of the arm p is 0,40 m and the attack angles α are 15 and 25⁰.

The soil block -deformable in interaction with the bent leg scarifier- was modeled as a rectangular prism of length L = 2 m, width B = 1 m and height H = 1 m with contact surface to surface. The work width of the blade coincides with the width of the cut soil prism b = 0,041 m. An increase of the dimensions of the prism of soil, beyond the assigned, as a result of the interaction with the arm of scarifier, can be disregarded (Kushwaha y Shen, 1995; Ibrahmi et al., 2015).

Loads, Boundary Conditions and Model Mesh. The loads were established as function of acting forces: the gravity g = 9.81 ms^-1 and environment pressure p_a = 101,325 kPa. The block of soil is restricted outwardly surfaces: Two lateral, inferior, posterior and frontal (Figure 3). The arm scarifier has a freedom movement in X and Y axes. It moves in X axis sense at constant velocity of 0,85 m.s^-1, oscillating with respect to X axis and with a frequency of 12 Hz and amplitude 0,008 m. The draft force applied to the model was 5 kN. The soil prism deformed and moved displaces tangent to the plowshare's surface of attack in arm scarifier.

According to mismas Abo et al. (2004); Bentaher et al. (2013). the mesh size has an important effect in the magnitude of tillage force and the calculation time of them. A very fine mesh will allow getting more exact simulation dates, but with a bigger time of calculation (Jafari et al., 2006; Armin et al., 2014).Therefore, only to the surfaces in contact, both soil block (inferior surface of soil prism that was displaced) and the arm scarifier (attack surface of chisel), mesh control was applied, with element size e = 0,004 m. The rest of model’s surface were meshed with element size 0,006 m and the iterative modified Newton-Raphson Method was used (Figure 3, for a total of 132 891 nodes, 107 262 elements and 364 959 degrees of freedom).

Predicting Tool Forces. The results of the finite element analyses of the implemented simulation model, at work depth of 0,4 m provided information regarding the reaction forces of soil (draft, lateral and vertical forces) and the displacement field of soil particles (Li et al., 2015).Figure 4 shows the distribution of Von Mises stresses when the arm scarifier works on the soil block. In agreement with other authors Bentaher et al. (2013); Armin et al. (2014); Ibrahmi et al. (2015), it can be observed that the model simulates the soil displacement process in appropriate way. The stresses grow progressively as the soil-tool interaction takes place.

Mesh Density Effect in Draft Force. To investigate the mesh density effect in draft force, as result of the soil- tillage tool simulation several runs of the Finite Element Model were realized with different element sizes (0,008 m; 0,014 m; 0,02 m and 0,035 m), at 0,3 m of tool displacement using the same tillage conditions of soil defined in Table 1.

In Figure 5, it is observed that the mesh density, which is proportional to the number of elements (Bentaher et al., 2013; Armin et al., 2014; Ibrahmi et al., 2015), has a significant effect in traction forces, both in horizontal direction (draft force) and in vertical direction (vertical force) for the implemented simulation model. That coincides with the obtained results by other researchers in previous papers (Abo et al., 2004). As the density of mesh increases, the draft force Fx decreases, becoming stabilized in an approximate value of 886 N (e = 0.006 m), being this the optimal size of elements for the model under consideration.

Displacement and Formation of Soil Prism. The kind and extent of breaking up of soil clods is the most important factor selecting the tillage tools, but it may be considered together the required draft force for efficient tilling (Li et al., 2015). The distribution of the soil displacement field, both in vertical and forward directions, as well as the prism formation and displacement processes were simulated by the Finite Element Model at 0,3 m of displacement, with the same density mesh: Element size e = 0,006 m and attack anglesm α of 15 and 25⁰. At the zone above tillage tool (Figure 6), big movements of the prism of soil that moves happened, both, in horizontal direction and in vertical direction and little lateral displacement

As a Figure 6 shows, the attack angle α has a significant effect in the extent of clod breaking up and in the displacement of the deformed soil prism.

For an attack angle α of 15⁰, the displacement of the soil, both, in horizontal direction and in vertical direction is smaller (Figure 6a) and the required draft forces Fx for the displacement and breaking up of clods is smaller. When the attack angle is 25⁰ (Figure 6b), the necessary draft force Fx increases to get bigger displacements from deformed soil prism in vertical direction.

Effect of the Attack Angle α in the Contact Stresses in the Nodes. Figure 7 shows the magnitude of the maximum contact stresses in nodes obtained by the simulation of Finite Element Model. For an attack angle α of 15⁰ (Figure 7a), the biggest value obtained is 9,93 MPa located in the inferior surface of the deformed soil prism and the high contact stresses zone is smaller. When the attack angle is 25⁰ (Figure 7b), the biggest value of the contact stresses reached is 1 737,2 MPa, located on a chisel tip of the scarifier arm contacting with the inferior surface of the deformed soil prism. The zone of high stresses of contact is wide and is located in the plane that coincides with the work depth of the tillage tool.

Las fuerzas actuantes en las herramientas de labranza afectan directamente el consumo energético de las operaciones de cultivo. Cerca de la mitad de la energía utilizada para la producción de las cosechas en la agricultura es consumida en las operaciones de cultivo, debido a la magnitud de las fuerzas de corte generadas cuando ocurre el rompimiento o aflojamiento del suelo (Davoudi et al., 2008; Armin et al., 2015). Muchos estudios han sido dirigidos a la medición de las fuerzas de corte y los requerimientos de potencia de los implementos de cultivo bajo varias condiciones del suelo (Grisso et al., 1996). La determinación de la fuerza de corte, necesaria para el cultivo del suelo ha llamado la atención de varios investigadores desde los años sesenta del pasado siglo Hettiaratchi et al. (1966); Gill y VandenBerg (1968), a la actualidad (Abo et al., 2011; Ibrahmi et al., 2015). La misma depende de factores relacionados con la geometría de la herramienta, resistencia del suelo y los parámetros de operación (Armin et al., 2014; Moeinfar et al., 2014; Sun et al., 2015; Ahmadi, 2016).

Varios investigadores han utilizado tanto métodos analíticos como numéricos para investigar el proceso de corte del suelo y la interacción suelo-herramienta de labranza (Elbashir et al., 2014). Entre los métodos numéricos, el método de elementos finitos (MEF) ha demostrado ser útil en la comprensión, investigación, descripción y solución de estos problemas. Ha sido desarrollado para los procesos de corte del suelo (Bentaher et al., 2013), para modelar el cultivo, desde herramientas simples como rejas Davoudi et al. (2008), arados de brazo curvo Jafari et al. (2006), arados de disco Abu y Reeder (2003), hasta arados de vertedera (Plouffe et al., 1999; Formato et al., 2005; Jeshvaghani et al., 2013). Además, los efectos de la velocidad de corte, profundidad de corte y el ángulo de corte de la herramienta de labranza en las fuerzas de tracción, han sido también estudiados por este método (Yong y Hanna, 1977; Chi y Kushwaha, 1990; Abo et al., 2003).

Algunos investigadores han intentado perfeccionar la geometría de las herramienta de cultivo utilizando experimentos físicos Soni et al. (2007), mientras simulaciones matemáticas también fueron consideradas en otras investigaciones (Shrestha et al., 2001). En otros trabajos de investigación se estudió la influencia de las condiciones de operación en el consumo de energía de las herramientas de cultivo (Al-Janobi y Al-Suhaibani, 1998; Moitzi et al., 2014; Ehrhardt et al., 2001).

El objetivo general de este estudio es analizar, de modo comparativo, utilizando el método de elementos finitos y el criterio de fluencia de Drucker-Prager extendido, la influencia de la densidad de malla y la geometría del brazo escarificador (ángulo de corte) en las fuerzas de corte, las tensiones de contacto entre los nodos, así como las deformaciones del suelo cuando está siendo cortado por la herramienta de labranza.

Modelo para el suelo. El comportamiento mecánico del suelo bajo la carga externa de cultivo es modelado con diferentes criterios de fluencia (Ibrahmi et al., 2015). Varios investigadores han utilizado el criterio de fluencia de Drucker-Prager y sus formas extendidas (lineal, hiperbólica y exponencial) para simular la interacción entre el suelo y diferentes herramientas utilizadas en ingeniería civil, excavaciones y cultivo (Li et al., 2013). En el presente trabajo, el suelo se modeló como continuo, homogéneo y elastoplástico, utilizando la forma lineal del empleado extendido del Modelo Drucker-Prager (Figura 1) con éxito por Herrera (2006), dada la simplicidad del mismo y la pequeña cantidad de parámetros necesarios para su implementación (González, 2008). La función de rendimiento de este modelo (F) se define como (González, 2008; De la Rosa, 2014):

donde:

t es el esfuerzo desviador, σ_c es el esfuerzo normal que actúa sobre el suelo, β es el ángulo que define la pendiente de la superficie de fluencia lineal (referido comúnmente al ángulo de fricción interna del material), C es la cohesión, ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$ son los esfuerzos principales máximos, intermedios y mínimos.

r³ es la tercera invariante de tensiones, el cual se calcula por:

La cohesión d, cuando el endurecimiento se define por ésta, se calcula como:

Donde τ las tensiones tangenciales.

Propiedades y parámetros del suelo. El suelo se clasificó como ferralítico rojo típico según la Segunda Clasificación Genética de los Suelos en Cuba (Herrera, 2006), con una densidad de 1150 kg·m^-3, índice de plasticidad de 36,2% y contenido de materia orgánica 2,7%. El módulo elástico se determinó por la pendiente de una línea tangencial de una curva de tensión-deformación en sección recta, obtenida por Herrera (2006), para este tipo de suelo. La tasa de Poisson υ fue determinada por:

para eso:

donde:

G-módulo de tensión y se determinó por la pendiente de una línea tangencial de sección recta de la curva de tensión-deformación obtenida de las pruebas de corte directo (González, 2008; De la Rosa, 2014).

La Tabla 1 muestra los valores de los parámetros y propiedades del suelo requerido por el modelo de elementos finitos (Herrera, 2006; García de la Figal, 2013; De la Rosa, 2014).

Modelo de elementos finitos. Un modelo de simulación tridimensional (3D) de la interacción suelo-herramienta de labranza fue desarrollado aplicando el método de elementos finitos y modelado con el software de diseño Solid Works (Figura 2). Lo componen el escarificador vibratorio con mecanismo vibrador de masas desbalanceadas (herramienta de brazo curvo con perfil logarítmico), el bloque de suelo y la superficie de interacción entre ambos. El brazo escarificador fue modelado como un cuerpo rígido discreto, con punto de referencia situado en la punta. La profundidad de trabajo del brazo (D) es de 0,40 m y el ángulo de corte (α) es 5 y 25⁰

El bloque de suelo (deformable en interacción con el brazo escarificador) se modeló como un prisma rectangular de 2 m de largo (L), 1 m de ancho (B) y 1 m de altura (H) y con modelo de contacto superficie a superficie. El ancho de corte de la reja coincide con el ancho del prisma de suelo cortado (b= 0,041 m). Un aumento de las dimensiones de éste, más allá de las asignadas, como resultado de la interacción con el brazo escarificador, no tiene ningún efecto en las fuerzas de cultivo (Kushwaha y Shen, 1995; Ibrahmi et al., 2015).

Cargas, condiciones de contorno y mallado del modelo. Las cargas se establecieron en función de las fuerzas actuantes. Sobre el modelo actúan la aceleración de gravedad (9.81 m.s^-1) y la presión atmosférica (101 325 Pa). El bloque de suelo está restringido exteriormente por las dos superficies laterales, la superficie inferior, posterior y anterior (Figura 3). El brazo escarificador tiene libertad de movimiento en los ejes X e Y. Se desplaza en la dirección del eje X a una velocidad constante de 0.85 m.s^-1 con frecuencia de las vibraciones del mecanismo vibrador de 12 Hz y amplitud 0,008 m. La fuerza de tracción aplicada al modelo fue de 5 000 N. El prisma de suelo cortado se desplaza tangente a la superficie de ataque de la reja del brazo escarificador. Aunque parte de las partículas del prisma de suelo cortado se adhieren en el proceso de corte a las superficies laterales de la herramienta de labranza, la adhesión no fue considerada.

El tamaño de la malla tiene un efecto importante en la magnitud de las fuerzas de cultivo y el tiempo de cálculo de las mismas (Abo et al., 2004; Bentaher et al., 2013). Una malla más fina permitirá obtener datos de simulación más precisos, pero el costo de un tiempo de cálculo largo será mayor (Jafari et al., 2006; Armin et al., 2014). Por tanto, en el presente estudio, solo a las superficies en contacto, tanto del bloque de suelo (superficie inferior del prisma de suelo cortado) como del brazo (superficie de ataque de la reja), se les aplicó control de mallado, con tamaño de elementos (e) de 0,004 m; el resto de las superficies del modelo se mallaron con tamaño de elemento 0,006 m y se utilizó el método iterativo de Newton-Raphson modificado (Figura 3). El mallado se realizó con 132 891 nodos, 107 262 elementos y 364 959 grados de libertad.

Predicción de las fuerzas de la herramienta. Los resultados del análisis por elementos finitos del modelo de simulación implementado, a una profundidad de corte de 0,.4 m, proporcionaron información respecto a las fuerzas de reacción del suelo (fuerzas de tracción, laterales y verticales) y el campo de desplazamiento de las partículas del suelo (Li et al., 2015). La Figura 4 muestra la distribución de las tensiones de Von Mises cuando el brazo escarificador labora el bloque de suelo. Coincidiendo con otros autores Bentaher et al. (2013); Armin et al. (2014); Ibrahmi et al. (2015), puede observarse que el modelo simula el proceso de corte del suelo de forma adecuada. Las tensiones van aumentando progresivamente a medida que transcurre la interacción suelo-herramienta de labranza.

Efecto de la densidad de malla en las fuerzas de corte. Para investigar efecto de la densidad de malla en las fuerzas de corte, como resultado de la simulación de la interacción suelo-herramienta de labranza, fueron realizadas varias corridas del modelo de elementos finitos con diferentes tamaño de elementos (0,008 m; 0,014 m; 0,02 m y 0,035 m), a 0,3 m de desplazamiento de la herramienta y utilizando las mismas condiciones de cultivo definidas en la Tabla 1. Los resultados de las corridas se muestran en la Figura 5.

Se observa que la densidad de malla, la cual es proporcional al número de elementos Bentaher et al. (2013), puede observarse que el modelo simula el proceso de corte del suelo de forma adecuada. Las tensiones van tiene un efecto significativo en las fuerzas de corte, tanto en la dirección horizontal (fuerza de tracción) como vertical (fuerza vertical) para el modelo de simulación implementado, lo cual coincide con los resultados obtenidos por otros investigadores en trabajos previos (Abo et al., 2004). A medida que aumenta la densidad de malla, las fuerzas de corte decrecen.

Desplazamiento e inversión del prisma de suelo. El tipo y grado de desmenuzamiento del suelo es el factor más importante en la selección de las herramientas de cultivo, pero esto debe ser considerado junto con la fuerza de tracción requerida para un cultivo eficiente (Li et al., 2015). En el presente trabajo, la distribución del campo de desplazamiento del suelo, tanto en la dirección vertical como de avance de la herramienta, así como el proceso de formación e inversión del prisma fueron simuladas por el modelo de elementos finitos a de 0,3 m de desplazamiento, con la misma densidad de malla (tamaño de elementos e=0,006 m) y a diferentes ángulos de corte (15 y 25 grados). En la zona sobre la herramienta de labranza (Figura 6), grandes movimientos del prisma de suelo cortado ocurrieron, tanto en dirección horizontal como vertical y hubo poco desplazamiento lateral.

Como muestra la Figura 6, el ángulo de corte tiene un efecto significativo en el grado de desmenuzamiento, desplazamiento e inversión del prisma de suelo cortado. Para un ángulo de corte de 15 grados, la inversión y el desplazamiento del suelo, tanto en dirección horizontal como vertical es menor (Figura 6a), por lo que la fuerza de tracción requerida para su rompimiento es menor. Cuando el ángulo de corte es de 25 grados (Figura 6b), se obtiene gran inversión del prisma, así como un mayor desplazamiento del suelo cortado en sentido vertical.

Efecto del ángulo de corte en las tensiones de contacto en los nodos. La Figura 7 muestra las magnitudes de las tensiones de contacto máximas en los nodos obtenidas de la simulación del modelo en elementos finitos. Para un ángulo de corte del brazo escarificador de 15 grados (Figura 7a), el mayor valor obtenido es de 9,93 MPa y se localiza en la superficie inferior del prisma de suelo cortado y la zona de altas tensiones de contacto es menor. Cuando el ángulo de corte es de 25 grados (Figura 7b), el valor máximo de las tensiones de contacto alcanzado es de 1737,2 MPa, localizado en la punta de la reja del brazo escarificador que contacta con la superficie inferior del prisma de suelo cortado. La zona de altas tensiones de contacto es más amplia y está situada en el plano coincidente con la profundidad de corte de la herramienta de labranza.