Los Modelos Lineales Mixtos

El nombre de Modelos Lineales Mixtos (MLM) según Trilleras (2022)Trilleras, M. (2022). Implementación de modelos lineales mixtos flexibles a datos de crecimiento craneofacial en la cohorte CESLPH-Damasco. Tesis de Maestría. Medellín, Colombia proviene del hecho de que estos modelos son lineales en los parámetros y que las covariables o variables independientes, pueden involucrar efectos fijos y efectos aleatorios. Mientras que, Altamirano et al., (2022)Altamirano, M., Rapelli, C. M., y Catalano, M. (2022). Técnicas gráficas de diagnóstico para los modelos lineales mixtos. expresan que la complejidad de los modelos mixtos, causada por la presencia de efectos aleatorios y las diferentes estructuras de covariancia, hace que el proceso de selección del modelo no sea una tarea sencilla.

Este proceso está compuesto por reiterados ajustes y evaluaciones de modelos con el objetivo de identificar una forma funcional que describa adecuadamente la evolución de la respuesta en el tiempo, su relación con covariables y la correlación presente en los datos. El uso de herramientas diagnósticas basadas en los residuos en el proceso de construcción del modelo permite conocer mejor el problema bajo investigación y así sugerir modelos adecuados.

Los MLM no son más que una extensión de los modelos lineales generales donde su aplicación se ha extendido a estudios en los que es necesario controlar efectos fijos y aleatorios, se realizan mediciones sobre la misma unidad experimental o individuos.

Estos modelos se pueden clasificar clasifican principalmente en función de la estructura de los datos y de los componentes que los constituyen. Navarrete (2015)Navarrete, O. V. (2015). Análisis comparativo de modelos de respuesta al ítem explicativo. Tesis de Maestría. Guayaquil, Ecuador. https://www.dspace.espol.edu.ec/retrieve/b7635b72-2604-404a-afdb-169ccfbba9e8/D-CD71899.pdf dice que de acuerdo a la información recopilada, estos modelos se pueden categorizar en:

Los Modelos Matemáticos

Un modelo matemático es una representación simplificada, a través de ecuaciones, funciones o fórmulas matemáticas de la relación entre dos o más variables. Por otro lado, la rama de las matemáticas que se encarga de estudiar las cualidades y estructura de los modelos es la llamada “teoría de los modelos”. (Roldán, 2019Roldán, P.N. (2019). Modelo matemático: Qué es, para qué sirve y tipos. Economipedia.com Disponible en: https://economipedia.com/definiciones/modelo-matematico.html ).

Según Ramos en 2021 los modelos matemáticos pueden clasificarse de acuerdo al resultado que predicen estos son: los modelos deterministas y estocásticos. Los primeros pronostican un mismo resultado en sus mediciones debido a que parten de un punto de vista determinado, esto se debe a que ignoran la variación aleatoria. Los segundos son aquellos que predicen la distribución de los posibles resultados ya que son de naturaleza más estadística.

Cuando se define a un modelo matemático es necesario comprender que el mismo se conforma por la interrelación de fórmulas, letras y números que al combinarlos se alcanza una expresión eficiente, capaz de describir y relacionar aquellos parámetros o valores donde sea necesaria su utilización.

Según Roldán (2019)Roldán, P.N. (2019). Modelo matemático: Qué es, para qué sirve y tipos. Economipedia.com Disponible en: https://economipedia.com/definiciones/modelo-matematico.html muchos de estos tipos de modelos matemáticos también se pueden clasificar según la información que representa:

La selección del modelo matemático no puede proceder sin que se definan previamente sus criterios estadísticos de selección. Telles et al., 2018Telles, R., Gómez, M., Alanís, E., Aguirre, O. A y Jiménez, J. (2018). Selection and adjustment of mathematical models to predict the stem volume of Tectona grandis L. f. in Nuevo Urecho, Michoacan, Mexico. Rev Madera y Bosques, 24(3). https://doi.org/10.21829/myb.2018.2431544 han referencia que la selección del mejor modelo se realiza a partir de la bondad de ajuste, medida con la suma de cuadrados del error (SCE), la raíz del error medio cuadrático (REMC), el coeficiente de determinación ajustado por el número de parámetros del modelo (R²adj), y la significancia de los parámetros.

Empleo de los modelos matemáticos en las ciencias agropecuarias

En las ciencias agropecuarias se han empleado diferentes modelos para predecir el comportamiento de diversas investigaciones por la utilidad que ellos propician. Rodríguez et al., (2018)Rodríguez, O., Florido, R y Varela, M. 2018. Aplicaciones de la modelación matemática y la simulación de cultivos agrícolas en Cuba. Rev Cultivos Tropicales, 39(1):121-126. realizaron un compendio de estudios donde utilizaron los modelos estadísticos matemáticos en las ciencias agropecuarias y encontraron en algunos de ellos, modelos que comparan la respuesta al medir la dosis de nitrógeno en maíz y cafeto. Con los resultados obtenidos de la modelación pudieron recomendar la dosis óptima de fertilizantes nitrogenados para estos cultivos.

Telles et al., (2018)Telles, R., Gómez, M., Alanís, E., Aguirre, O. A y Jiménez, J. (2018). Selection and adjustment of mathematical models to predict the stem volume of Tectona grandis L. f. in Nuevo Urecho, Michoacan, Mexico. Rev Madera y Bosques, 24(3). https://doi.org/10.21829/myb.2018.2431544 llevan a cabo un estudio para predecir el volumen fustal de Tectona grandis L. f. en una plantación de 11 años de edad en Nuevo Urecho, Michoacán, en el que después de ajustar seis modelos de volumen fustal a través de los criterios de selección de bondad de ajuste, el modelo de Meyer fue el apropiado para predecir con mayor precisión el volumen fustal en función del diámetro normal (d) y la altura total (AT) de T. grandis en plantaciones con condiciones físicas y biológicas similares a las del sitio de este estudio.

Sobalvarro et al., (2019)Sobalvarro, J. L., Elizondo, J. A. y Rojas, A. (2019). La producción de gas in vitro para estimar la energía neta de lactancia. Rev AAgronomía Mesoamericana, 31(2):311-328. Costa Rica. https://doi.org/10.15517/am.v3li2.38497 consiguen aplicar modelos matemáticos con el propósito de determinar el comportamiento de la producción de gas in vitro a partir de concentrados de pasto estrella (Cynodon nlemfuensis), ryegrass (Lolium perenne), morera (Morus alba), ensilado de maíz (Zea mays) y alimento concentrado incubado con licor ruminal para estimar la energía neta de lactancia en bovinos.

Duran et al., (2022)Duran, E., Acuayte, E., Acuayte, M. C., Hernández, J. C, y López, I. L. (2022). La modelación y simulación matemáticas: una herramienta para la protección de cultivos. Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas, 13(6), 1129-1140. Disponible en: https://doi.org/10.29312/remexca.v13i6.2922 reflejan en su artículo el uso de modelos de simulación aplicados a la fitosanidad en especial en cultivos asociados a plagas y enfermedades demostrando que estos van en forma creciente con el paso del tiempo puesto que se relacionan las variables: elementos del clima, el crecimiento y desarrollo del cultivo, así como el comportamiento de las plagas y enfermedades, coincidiendo que son temas en los que la modelación desempeña un avance significativo en la muestra de resultados.

Modelos estadísticos con mayor aplicación para describir la cinética de producción de gas in vitro

En las últimas décadas se ha hecho frecuente el empleo de los modelos no lineales para describir el comportamiento de la cinética de producción de gas in vitro, entre los que se encuentran con mayor aplicación el Logístico, Gompertz entre otros. Sin embargo, en la actualidad se ha demostrado que su aplicación no es la más adecuada cuando se realizan mediciones sobre la misma unidad experimental, por lo que se hace necesario la búsqueda de otros modelos para su mejor interpretación. Según García et al., (2022)García, Y., Herrera, M., Rodríguez, R., y Ontivero, Y. (2022). Evaluation of non-linear and mixed non-linear models to describe in vitro gas production kinetics of ruminant feeds. Cuban Journal of Agricultural Science, 56(1). un problema frecuente al modelar este tipo de datos es que los residuos se correlacionan entre sí, siendo una de las principales causas en la producción de gas in vitro pues se realizan mediciones en el tiempo sobre la misma unidad experimental, por lo que se genera una estructura de varianzas específica.

Ante esta situación, los Modelos no lineales mixtos (MNLM) constituyen una alternativa de análisis. Con ellos se puede modelar la estructura de correlación, de forma directa o mediante variables aleatorias. Otras de las bondades del enfoque mixto es que no requiere que la distribución de los datos sea normal, ayudan a controlar la heterogeneidad, mejoran los criterios de ajuste estadístico y tienen efectos positivos en el análisis de MNLM, ajustados a datos longitudinales según Gómez y Agüero en 2020.

Bandera y Pérez (2018)Bandera, E., y Pérez, L. (2018). Los modelos lineales generalizados mixtos. Su aplicación en el mejoramiento de plantas. Rev. Cultivos Tropicales, 39(1):127-133. Ministerio de Educación Superior. Cuba. señalan que los modelos mixtos cobran valor en el ámbito agropecuario porque se aplican en el análisis de datos longitudinales, ensayos multi-ambientes y curvas de crecimiento. Además, Gómez et al., (2019)Gómez, S., Torres, V., García, Y., Herrera, M., Medina, Y. y Rodríguez, R. (2019). “Procedimiento estadístico para el análisis de experimentos con medidas repetidas en el tiempo en la esfera agropecuaria”. Cuba. J. Agric. Sci. 53(4): 353-360, ISSN: 2079-3480. plantean que es común el uso de los modelos lineales con enfoque mixto en el análisis de varianza de los experimentos de producción de gas in vitro con medidas repetidas.

Torres et al., (2018) emplearon el modelo de Gompertz para evaluar la producción de gas y la degradabilidad in vitro de la inclusión de hojas de encino blanco (Quercus spp) en dietas de becerros en corral de engorde. Obtienen resultados significativos para disminuir la producción in vitro de nitrógeno amoniacal al incluir las hojas de encino, así como la tasa constante de producción de gas y de metano.

Sequen (2022)Sequen, C. E. (2022). Determinación de la desaparición ruminal in vitro de la fracción soluble de hoja de morera (Morus alba) (Doctoral dissertation, Universidad de San Carlos de Guatemala) llevó a cabo un estudio para determinar la desaparición ruminal in vitro de la fracción soluble de hoja de morera (Morus alba), donde empleó el modelo exponencial para conseguir la producción de gas hasta las 24 horas de incubación. Este mismo autor, realizó una segunda modelación para conocer la degradación de la materia seca de la fracción soluble de heno de morera, y fue el modelo de Gompertz el que mejor describió la degradación de las porciones fácilmente degradables.

Según da Silva et al., (2021)da Silva, C.Z., Ítavo, L. C.V., Ítavo, C. C.B. F., dos Santos, G. T., Dias, A.M., dos Santos, G., y Gurgel, A. L. C. (2021). Kinetics of in vitro gas production and fitting mathematical models of corn silage. Fermentation, 7(4), 298, los modelos matemáticos se emplean para describir fenómenos biológicos, y en nutrición animal se usan para ajustar la producción de gas in vitro. Autores como Morales (2023)Morales, B. K. (2023). Evaluación de dos vainas de leguminosas arbóreas como estrategia en la producción bovina tropical. (Tesis de Maestría). Guerrero, México. utilizó el modelo Gompertz para evaluar la producción de biogás y metano en muestras de vainas de algarrobo (Samanea saman (Jacq.) Merr.) y parota (Enterolobium cyclocarpum (Jacq) Griseb.) como complemento de alimentos en bovinos.

García et al., (2022)García, Y., Herrera, M., Rodríguez, R., y Ontivero, Y. (2022). Evaluation of non-linear and mixed non-linear models to describe in vitro gas production kinetics of ruminant feeds. Cuban Journal of Agricultural Science, 56(1). evaluó modelos clásicos (Gompertz y Logístico) y alternativos con la adición de una función trigonométrica a estos modelos, para describir la cinética de producción de gas in vitro de alimentos para rumiantes. La autora encontró que los modelos extendidos tuvieron un adecuado ajuste y cumplimento de los supuestos, siendo el Gompertz extendido el más integral para describir dicha cinética.

Linear Mixed Models.

The name Linear Mixed Models (MLM) according to Trilleras (2022)Trilleras, M. (2022). Implementación de modelos lineales mixtos flexibles a datos de crecimiento craneofacial en la cohorte CESLPH-Damasco. Tesis de Maestría. Medellín, Colombia comes from the fact that these models are linear in the parameters and that the covariates or independent variables can involve fixed effects and random effects. Meanwhile, Altamirano et al., (2022)Altamirano, M., Rapelli, C. M., y Catalano, M. (2022). Técnicas gráficas de diagnóstico para los modelos lineales mixtos. express that the complexity of mixed models, caused by the presence of random effects and the different covariance structures, makes the model selection process not a simple task.

This process involves repeated model adjustments and evaluations to identify a functional form that adequately describes the evolution of the response over time, its relationship to covariates, and the correlations present in the data. The use of residual-based diagnostic tools in the model-building process provides a better understanding of the problem under investigation and thus allows for the suggestion of appropriate models.

MLMs are nothing more than an extension of general linear models, whose application has been extended to studies in which it is necessary to control fixed and random effects, and measurements are made on the same experimental unit or individuals.

These models can be classified primarily based on the structure of the data and its constituent components. Navarrete (2015)Navarrete, O. V. (2015). Análisis comparativo de modelos de respuesta al ítem explicativo. Tesis de Maestría. Guayaquil, Ecuador. https://www.dspace.espol.edu.ec/retrieve/b7635b72-2604-404a-afdb-169ccfbba9e8/D-CD71899.pdf states that, based on the information collected, these models can be categorized as follows:

Mathematical Models

A mathematical model is a simplified representation, using mathematical equations, functions, or formulas, of the relationship between two or more variables. On the other hand, the branch of mathematics that studies the qualities and structure of models is known as "model theory" (Roldán, 2019Roldán, P.N. (2019). Modelo matemático: Qué es, para qué sirve y tipos. Economipedia.com Disponible en: https://economipedia.com/definiciones/modelo-matematico.html ).

According to Ramos in 2021, mathematical models can be classified according to the outcome they predict: deterministic and stochastic models. The former predict the same outcome in their measurements because they start from a specific perspective; this is because they ignore random variation. The latter predict the distribution of possible outcomes, as they are more statistical in nature.

When defining a mathematical model, it is necessary to understand that it is made up of the interrelation of formulas, letters and numbers that, when combined, achieve an efficient expression, capable of describing and relating those parameters or values ​​where its use is necessary.

According to Roldán (2019)Roldán, P.N. (2019). Modelo matemático: Qué es, para qué sirve y tipos. Economipedia.com Disponible en: https://economipedia.com/definiciones/modelo-matematico.html , many of these types of mathematical models can also be classified according to the information they represent:

The selection of the mathematical model cannot proceed without first defining its statistical selection criteria. Telles et al., 2018Telles, R., Gómez, M., Alanís, E., Aguirre, O. A y Jiménez, J. (2018). Selection and adjustment of mathematical models to predict the stem volume of Tectona grandis L. f. in Nuevo Urecho, Michoacan, Mexico. Rev Madera y Bosques, 24(3). https://doi.org/10.21829/myb.2018.2431544 , noted that the selection of the best model is based on goodness of fit, measured by the sum of squares of the error (SSE), the root mean square error (RMSE), the coefficient of determination adjusted by the number of model parameters (R²adj), and the significance of the parameters.

Use of mathematical models in agricultural sciences

In agricultural sciences, various models have been used to predict the behavior of various research projects due to their usefulness. Rodríguez et al. (2018)Rodríguez, O., Florido, R y Varela, M. 2018. Aplicaciones de la modelación matemática y la simulación de cultivos agrícolas en Cuba. Rev Cultivos Tropicales, 39(1):121-126. compiled a collection of studies using mathematical statistical models in agricultural sciences and found, in some of them, models that compare the response to measuring nitrogen doses in corn and coffee. Using the modeling results, they were able to recommend the optimal dose of nitrogen fertilizers for these crops.

Telles et al., (2018)Telles, R., Gómez, M., Alanís, E., Aguirre, O. A y Jiménez, J. (2018). Selection and adjustment of mathematical models to predict the stem volume of Tectona grandis L. f. in Nuevo Urecho, Michoacan, Mexico. Rev Madera y Bosques, 24(3). https://doi.org/10.21829/myb.2018.2431544 carried out a study to predict the stem volume of Tectona grandis L. f. in an 11-year-old plantation in Nuevo Urecho, Michoacán, in which after adjusting six stem volume models through the goodness-of-fit selection criteria, the Meyer model was the appropriate one to most accurately predict stem volume based on the normal diameter (d) and total height (AT) of T. grandis in plantations with physical and biological conditions similar to those of the site of this study.

Sobalvarro et al., (2019)Sobalvarro, J. L., Elizondo, J. A. y Rojas, A. (2019). La producción de gas in vitro para estimar la energía neta de lactancia. Rev AAgronomía Mesoamericana, 31(2):311-328. Costa Rica. https://doi.org/10.15517/am.v3li2.38497 manage to apply mathematical models with the purpose of determining the behavior of in vitro gas production from concentrates of star grass (Cynodon nlemfuensis), ryegrass (Lolium perenne), mulberry (Morus alba), corn silage (Zea mays) and concentrated feed incubated with ruminal liquor to estimate the net lactation energy in cattle.

Duran et al., (2022)Duran, E., Acuayte, E., Acuayte, M. C., Hernández, J. C, y López, I. L. (2022). La modelación y simulación matemáticas: una herramienta para la protección de cultivos. Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas, 13(6), 1129-1140. Disponible en: https://doi.org/10.29312/remexca.v13i6.2922 reflect in their article the use of simulation models applied to phytosanitary, especially in crops associated with pests and diseases, demonstrating that these are increasing over time since the variables are related: climate elements, growth and development of the crop, as well as the behavior of pests and diseases, agreeing that these are topics in which modeling plays a significant role in the sample of results.

Statistical models most widely used to describe the kinetics of in vitro gas production

In recent decades, the use of nonlinear models to describe the behavior of in vitro gas production kinetics has become frequent, among which the Logistic, Gompertz, among others, are most widely applied. However, it has currently been shown that their application is not the most appropriate when measurements are made on the same experimental unit, so it is necessary to search for other models for better interpretation. According to García et al., (2022)García, Y., Herrera, M., Rodríguez, R., y Ontivero, Y. (2022). Evaluation of non-linear and mixed non-linear models to describe in vitro gas production kinetics of ruminant feeds. Cuban Journal of Agricultural Science, 56(1)., a frequent problem when modeling this type of data is that the residuals are correlated with each other, being one of the main causes in in vitro gas production since measurements are made over time on the same experimental unit, which is why a specific variance structure is generated.

Given this situation, nonlinear mixed models (NLMs) are an alternative approach. They can be used to model the correlation structure, either directly or using random variables. Other advantages of the mixed approach include that it does not require the data to be normally distributed, helps control heterogeneity, improves statistical fit criteria, and has positive effects on the analysis of NLMs, fitted to longitudinal data according to Gómez and Agüero in 2020.

Bandera and Pérez (2018)Bandera, E., y Pérez, L. (2018). Los modelos lineales generalizados mixtos. Su aplicación en el mejoramiento de plantas. Rev. Cultivos Tropicales, 39(1):127-133. Ministerio de Educación Superior. Cuba. point out that mixed models gain value in the agricultural field because they are applied in the analysis of longitudinal data, multi-environment trials, and growth curves. Furthermore, Gómez et al. (2019)Gómez, S., Torres, V., García, Y., Herrera, M., Medina, Y. y Rodríguez, R. (2019). “Procedimiento estadístico para el análisis de experimentos con medidas repetidas en el tiempo en la esfera agropecuaria”. Cuba. J. Agric. Sci. 53(4): 353-360, ISSN: 2079-3480. suggest that the use of linear models with a mixed approach is common in the analysis of variance of in vitro gas production experiments with repeated measures.

Torres et al. (2018) used the Gompertz model to evaluate the gas production and in vitro degradability of white oak (Quercus spp.) leaves included in feedlot calf diets. They obtained significant results for reducing the in vitro production of ammoniacal nitrogen when including oak leaves, as well as the constant rate of gas and methane production.

Sequen (2022)Sequen, C. E. (2022). Determinación de la desaparición ruminal in vitro de la fracción soluble de hoja de morera (Morus alba) (Doctoral dissertation, Universidad de San Carlos de Guatemala) carried out a study to determine the in vitro ruminal disappearance of the soluble fraction of mulberry (Morus alba) leaves, where he used the exponential model to obtain gas production up to 24 hours of incubation. This same author carried out a second modeling to understand the degradation of the dry matter of the soluble fraction of mulberry hay, and it was the Gompertz model that best described the degradation of the easily degradable portions.

According to da Silva et al., (2021)da Silva, C.Z., Ítavo, L. C.V., Ítavo, C. C.B. F., dos Santos, G. T., Dias, A.M., dos Santos, G., y Gurgel, A. L. C. (2021). Kinetics of in vitro gas production and fitting mathematical models of corn silage. Fermentation, 7(4), 298, mathematical models are used to describe biological phenomena, and in animal nutrition they are used to adjust in vitro gas production. Authors such as Morales (2023)Morales, B. K. (2023). Evaluación de dos vainas de leguminosas arbóreas como estrategia en la producción bovina tropical. (Tesis de Maestría). Guerrero, México. used the Gompertz model to evaluate biogas and methane production in samples of carob (Samanea saman (Jacq.) Merr.) and parota (Enterolobium cyclocarpum (Jacq) Griseb.) pods as a feed supplement in cattle.

García et al. (2022)García, Y., Herrera, M., Rodríguez, R., y Ontivero, Y. (2022). Evaluation of non-linear and mixed non-linear models to describe in vitro gas production kinetics of ruminant feeds. Cuban Journal of Agricultural Science, 56(1). evaluated classical models (Gompertz and Logistic) and alternative models with the addition of a trigonometric function to these models, to describe the in vitro gas production kinetics of ruminant feeds. The authors found that the extended models had an adequate fit and fulfilled the assumptions, with the extended Gompertz being the most comprehensive for describing said kinetics.